【题目】如图,二次函数的图象过原点,与x轴的另一个交点为
(1)求该二次函数的解析式;
(2)在x轴上方作x轴的平行线,交二次函数图象于A、B两点,过A、B两点分别作x轴的垂线,垂足分别为点D、点C.当矩形ABCD为正方形时,求m的值;
(3)在(2)的条件下,动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动,同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动,到达点D时立即原速返回,当动点Q返回到点A时,P、Q两点同时停止运动,设运动时间为t秒().过点P向x轴作垂线,交抛物线于点E,交直线AC于点F,问:以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形.若能,请求出t的值;若不能,请说明理由.
【答案】(1);(2)当矩形ABCD为正方形时,m的值为4;(3)以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形,t的值为4或6.
【解析】
(1)根据点的坐标,利用待定系数法即可求出二次函数的解析式;
(2)利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A,B的坐标,进而可得出点C,D的坐标,再利用正方形的性质可得出关于m的方程,解之即可得出结论;
(3)由(2)可得出点A,B,C,D的坐标,根据点A,C的坐标,利用待定系数法可求出直线AC的解析式,利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可求出点E,F的坐标,由且以A、E、F、Q四点为顶点的四边形为平行四边形可得出,分,,三种情况找出AQ,EF的长,由可得出关于t的一元二次方程,解之取其合适的值即可得出结论.
(1)将,代入,得:,
解得,
∴该二次函数的解析式为.
(2)当 时,,
解得:,,
∴点a的坐标为(,m),点b的坐标为(,m),
∴点d的坐标为(,0),点c的坐标为(,0).
∵矩形abcd为正方形,
∴,
解得:,(舍去),.
∴当矩形ABCD为正方形时,m的值为4.
(3)以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形.
由(2)可知:点A的坐标为,点B的坐标为,点C的坐标为,点D的坐标为.
设直线AC的解析式为,
将,代入,
得,
解得,
∴直线ac的解析式为.
当时, ,
∴点E的坐标为(,),点F的坐标为(,-t+4).
∵以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形,且 ,
∴,分三种情况考虑:
①当时,如图1所示,,EF=,
∴,解得:(舍去),;
②当时,如图2所示,,EF=,
∴,
解得:(舍去),;
,, EF=,
,
解得(舍去),(舍去)
综上所述,当以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时,t的值为4或6
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【题目】如图,反比例函数和一次函数y=kx-1的图象相交于A(m,2m),B两点.
(1)求一次函数的表达式;
(2)求出点B的坐标,并根据图象直接写出满足不等式的x的取值范围.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+5经过A(﹣5,0),B(﹣4,﹣3)两点,与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连结CD.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合),设点P的横坐标为t.
①当点P在直线BC的下方运动时,求△PBC的面积的最大值;
②该抛物线上是否存在点P,使得∠PBC=∠BCD?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】(1)问题背景:
如图1,在正方形ABCD中,点M,N分别在边BC,CD上,连接MN,且∠MAN=45°,将△ADN绕点A顺时针旋转90°,得到△ABG,可证△AMG≌△AMN,易得线段MN、BM、DN之间的数量关系为: (直接填写);
(2)实践应用:
在平面直角坐标系中,边长为5的正方形OABC的两顶点分别在y轴、x轴的正半轴上,O在原点.现将正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转,旋转角为θ,当点A第一次落在直线y=x上时停止旋转,旋转过程中,AB边交直线y=x于点M,BC边交x轴于点N.如图2,设△MBN的周长为P,在旋转正方形OABC的过程中,P值是否有变化?请证明你的结论;
(3)拓展研究:
如图3,将正方形改为长与宽不相等的矩形,且∠MAN=∠CMN=45°,请你直接写出线段MN、BM、DN之间的数量关系.
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【题目】如图,为的直径,平分,交弦于点,连接半径交于点,过点的一条直线交的延长线于点,.
(1)求证:直线是的切线;
(2)若.
①求的长;
②求的周长.(结果可保留根号)
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【题目】如图,将放在每个小正方形的边长为1的网格中,点、均落在格点上,角的一边与水平方向的网格线重合,另一边经过格点.
(Ⅰ)等于__________;
(Ⅱ)如果为内部的一个锐角,且,请在如图所示的网格中,借助无刻度的直尺画出,使得,并简要说明是如何找到的(不要求证明)__________________________________________________________________________________________________________________________________________________.
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【题目】某中学开设的体育选修课有篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球,学生可以根据自己的爱好选修其中1门.某班班主任对全班同学的选课情况进行了调查统计,制成了两幅不完整的统计图(图(1)和图(2)):
(1)请你求出该班的总人数,并补全条形图(注:在所补小矩形上方标出人数);
(2)在该班团支部4人中,有1人选修排球,2人选修羽毛球,1人选修乒乓球.如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人,那么选出的两人中恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球的概率是多少?
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【题目】如图,在一块斜边长30cm的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF,点D在边BC上,点E在斜边AB上,点F在边AC上,若AF:AC=1:3,则这块木板截取正方形CDEF后,剩余部分的面积为( )
A. 100cm2B. 150cm2C. 170cm2D. 200cm2
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【题目】如图,在正方形ABCD中,O是对角线AC与BD的交点,M是BC边上的动点(点M不与B,C重合),CN⊥DM,CN与AB交于点N,连接OM,ON,MN.下列四个结论:①△CNB≌△DMC;②△CON≌△DOM;③△OMN≌△OAD;④AN2+CM2=MN2;其中正确的结论是_____.(填写所有正确结论的序号)
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