Question

如图，△ABC中，AB=3cm，BC=4cm，AC=6cm．动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB向点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1cm的速度沿BC向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（秒），则t=

9

7

或

12

7

时，直线PQ截△ABC所得的小三角形与△ABC相似．

Answer 1

分析：先用t表示有关相等得AP=t，PB=3-t，BQ=t，（0≤t≤3），然后讨论：当PQ∥AC时，△BPQ∽△BAC；当∠BPQ=∠C时，△BPQ∽△BCA，再分别利用相似比求对应的t．

解答：解：根据题意得AP=t，PB=3-t，BQ=t，（0≤t≤3），
当PQ∥AC时，△BPQ∽△BAC，
∴

BP

BA

=

BQ

BC

，即

3-t

3

=

t

4

，解得t=

12

7

；
当∠BPQ=∠C时，△BPQ∽△BCA，
∴

BP

BC

=

BQ

AB

，即

3-t

4

=

t

3

，解得t=

9

7

，
∴当t=

9

7

或

12

7

时，直线PQ截△ABC所得的小三角形与△ABC相似．
故答案为

9

7

或

12

7

．

点评：本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质和分类讨论的思想．