Question

【题目】如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．

（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；

（2）①当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．

②当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）BD=DC（2）①当AB=AC时，四边形AFBD是矩形．②当∠BAC=90°时，四边形AFBD是菱形．

【解析】

试题分析：（1）由△AEF≌△DEC得出AF=DC，再根据已知条件即可证明．

（2）①当AB=AC时，四边形AFBD是矩形．先证明四边形AFBD是平行四边形，再证明∠ADB=90°即可．

②当∠BAC=90°时，四边形AFBD是菱形．先证明四边形AFBD是平行四边形，再证明AD=BD即可．

（1）证明：∵E是AD的中点，

∴AE=ED，

∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠ECD，

在△AEF和△DEC中，

，

∴△AEF≌△DEC，

∴AF=DC，

∵AF=BD，

∴BD=DC．

（2）①当AB=AC时，四边形AFBD是矩形．

证明：∵AF=BD，AF∥BD，

∴四边形AFBD是平行四边形，

∵AB=AC，BD=DC，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∴四边形AFBD是矩形．

②当∠BAC=90°时，四边形AFBD是菱形．

证明：：∵AF=BD，AF∥BD，

∴四边形AFBD是平行四边形，

∵∠BAC=90°，BD=DC，

∴AD=BD=DC，

∴四边形AFBD是菱形．