Question

1．如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．
（1）求出抛物线的解析式．
（2）点P是抛物线上点A左方的一动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似，分两种情况讨论计算即可；

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-4）（x-1），
∵点C（0，-2）在抛物线上，
∴-4×（-1）a=-2，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-4）（x-1）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2；

（2）如图1，

过点P作PM⊥OA，
A（4，0），C（0，-2），
∴OA=4，OC=2，
∴$\frac{OA}{OC}$=2，
设点P（p，h）
∴AM=|4-p|．PM=|h|，h=-$\frac{1}{2}$p²+$\frac{5}{2}$p-2   ③，
∵∠APM=∠AOB=90°，
∵以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似，
∴①$\frac{PM}{AM}$=$\frac{OA}{OC}$=2，
∴$\frac{|h|}{|4-p|}$=2  ④，
由③④解得，$\left\{\begin{array}{l}{p=-3}\\{h=-14}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{p=0}\\{h=0}\end{array}\right.$（舍）或 $\left\{\begin{array}{l}{p=-4}\\{h=-20}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{p=-5}\\{h=-27}\end{array}\right.$，
∴P（-3，-14），或（-4，-20）或（-5，-27）
②$\frac{PM}{AM}$=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{|h|}{|4-p|}$=$\frac{1}{2}$   ⑤
由③⑤解得，$\left\{\begin{array}{l}{p=-2+\sqrt{6}}\\{h=-12+\frac{9}{2}\sqrt{6}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{p=-2-\sqrt{6}}\\{h=-19-\frac{1}{2}\sqrt{6}}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{p=3+\sqrt{5}}\\{h=-\frac{3}{2}-\sqrt{5}}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{p=-3-\sqrt{5}}\\{h=-\frac{3}{2}+\sqrt{5}}\end{array}\right.$，
∴P（-2+$\sqrt{6}$，-12+$\frac{9}{2}\sqrt{6}$）或（-2-$\sqrt{6}$，-19-$\frac{1}{2}$$\sqrt{6}$）或（3+$\sqrt{5}$，-$\frac{3}{2}$-$\sqrt{5}$）或（3-$\sqrt{5}$，-$\frac{3}{2}$+$\sqrt{5}$）．
综上，得到点P（-3，-14），或（-4，-20）或（-5，-27）或（-2+$\sqrt{6}$，-12+$\frac{9}{2}\sqrt{6}$）或（-2-$\sqrt{6}$，-19-$\frac{1}{2}$$\sqrt{6}$）或（3+$\sqrt{5}$，-$\frac{3}{2}$-$\sqrt{5}$）或（3-$\sqrt{5}$，-$\frac{3}{2}$+$\sqrt{5}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，解本题的关键是学会利用参数，把问题转化为方程解决，属于中考常考题型．