Question

在直角坐标系xoy中，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，其中A在B的左侧，B的坐标是（3，0）．将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过点B、C．
（1）求k的值；
（2）求直线BC和抛物线的解析式；
（3）求△ABC的面积；
（4）设抛物线顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位后，直线的解析式为y=kx+3，由于这条直线过B、C两点，因此C点的坐标为（0，3），将B点坐标代入直线的解析式后即可求出k的值．
（2）直线BC的解析式在（1）中已求得．根据抛物线过B、C两点，那么可将这两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）根据（2）中得出的抛物线的解析式即可求出A点的坐标，那么△ABC底边AB的长就能求出来了．而△ABC的高OC可根据C点的坐标得出，因此根据三角形的面积计算公式可得出△ABC的面积．
（4）根据（2）得出的抛物线的解析式可求出抛物线的对称轴的解析式．如果设抛物线交BC于E，交x轴于F点．根据对称轴的解析式与BC所在直线的解析式不难得出E点的坐标为（2，1），此时AF=FE=FB，如果连接AE，那么三角形AEB就是个等腰直角三角形．于是三角形AEC也是直角三角形，那么∠ACE和∠APF的正切值就应该相等（已知∠ACE=∠APD），那么可得出的等量关系为AE：CE=AF：PF，据此可求出PF的长，也就能得出P点的坐标．

解答：解：（1）直线y=kx沿y轴向上平移3个单位后，过两点B，C
从而可设直线BC的方程为y=kx+3
令x=0，得C（0，3）
又B（3，0）在直线上，
∴0=3k+3
∴k=-1．

（2）由（1），直线BC的方程为y=-x+3
又抛物线y=x²+bx+c过点B，C
∴

c=3 9+3b+c=0

解得

b=-4 c=3

∴抛物线方程为y=x²-4x+3．

（3）由（2），令x²-4x+3=0
得x₁=1，x₂=3
即A（1，0），B（3，0），而C（0，3）
∴△ABC的面积S_△ABC=

1

2

（3-1）•3=3平方单位．

（4）由（2），D（2，-1），设对称轴与x轴交于点F，与BC交于E，可得E（2，1），
连接AE．
∵AF=FB=FE=1
∴AE⊥CE，且AE=

2

，CE=2

2

（或先作垂线AE⊥BC，再计算也可）
在Rt△AFP与Rt△AEC中，
∵∠ACE=∠APE（已知），
∴

AF

AE

=

PF

CE

即

1

2

=

PF

2 2

，
∴PF=2．
∴点P的坐标为（2，2）或（2，-2）．

点评：本题主要考查了一次函数的图象的平移以及二次函数的应用等知识点．对待一次函数的平移，只要记住并理解“左加右减，上加下减”即可作出正确的解答．