Question

如图，在直角坐标系中，O为坐标原点. 已知反比例函数y=（k>0）的图象经过点A(2，m)，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为.

（1）求k和m的值；
（2）点C（x，y）在反比例函数y=的图象上，求当1≤x≤3时函数值y的取值范围；
（3）过原点O的直线l与反比例函数y=的图象交于P、Q两点，试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值.

Answer 1

（1）m= k=1（2）≤y≤1（3）2

解：（1）∵A(2，m)      ∴OB=2  AB=m
∴S_△AOB=•OB•AB=×2×m=   ∴m=……………………2分
∴点A的坐标为（2，）  把A（2，）代入y=，得=
∴k="1" ………………………………………………………………………4分
（2）∵当x=1时，y=1；当x=3时，y= ……………………………………6分
又 ∵反比例函数y=在x>0时，y随x的增大而减小……………………7分
∴当1≤x≤3时，y的取值范围为≤y≤1 ……………………………8分
（3） 由图象可得，线段PQ长度的最小值为2 ……………………10分
（1）通过三角形的面积可求得m的值，即可求出点A的坐标，从而求得k的值
（2）把x的值分别代入求得y的值，再根据函数的增减性求得y的取值范围
（3）根据勾股定理求得线段PO的长，从而求得线段PQ长度的最小值