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如图,AB是⊙O的直径,点C在BA的延长线上,CA=AO,点D在⊙O上,∠AB精英家教网D=30°.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若点P在直线AB上,⊙P与⊙O外切于点B,与直线CD相切于点E,设⊙O与⊙P的半径分别为r与R,求
rR
的值.
分析:(1)欲证:CD是⊙O的切线,只要转化为证明∠ODC=90°即可;
(2)连接PE,易证PE=
1
2
CP,又PE=BP=R,CA=AO=OB=r,就可以得到.
解答:精英家教网(1)证明:连接OD、DA;
∵AB是⊙O的直径,
∴∠BDA=90°,
又∠ABD=30°,
∴AD=
1
2
AB=OA(2分),
∵AC=AO,
∴∠ODC=90°,
∴CD切⊙O于点D.(4分)

(2)解:方法一:连接PE,
由(1)知∠DAB=60°;
∵AD=AC,
∴∠C=30°,(5分)
又∵DE切⊙P于E,
∴PE⊥CE,
∴PE=
1
2
CP,(7分)
∵PE=BP=R,CA=AO=OB=r,
∴3r=R,即
r
R
=
1
3
.(8分)
方法二:连接PE,
又∵DE切⊙P于E,
∴PE⊥CE,
∴OD∥PE,(6分)
OD
EP
=
CO
CP

r
R
=
2r
3r+R

r
R
=
1
3
.(8分)
点评:证明切线可以证明直线经过半径的外端点,且垂直于这条半径.已知圆的切线可以连接圆心与切点.
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  1. A.
    4米
  2. B.
    6米
  3. C.
    8米
  4. D.
    10米

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