练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与y轴交于点A，对称轴是直线x=
    		3
    3
    ，以OA为边在y轴右侧作等边三角形OAB，点B恰好在该抛物线上． 动点P在x轴上，以PA为边作等边三角形APQ（△APQ的顶点 A、P、Q按逆时针标记）．
    （1）求点B的坐标与抛物线的解析式；
    （2）当点P在如图位置时，求证：△APO≌△AQB；
    （3）当点P在x轴上运动时，点Q刚好在抛物线上，求点Q的坐标；
    （4）探究：是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据函数解析式c=2，可得出OA=OB=AB=2，过点B作BE⊥x轴与点E，根据OB=2，∠AOB=60°，可求出BE、OE的长度，继而得出点B的坐标，根据函数的对称轴为x=
    		3
    3
    ，再将点B的坐标代入可得出函数解析式．
    （2）根据等边三角形的性质可得出AB=AO、AP=AQ，∠PAO=∠QAB，利用SAS可证得结论．
    （3）需要分两种情况，①点Q在第三象限的抛物线上，②点Q在第一象限的抛物线上，分别求解即可．
    （4）①当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，此时，AB∥OQ；②当点P在x轴正半轴上时，点Q在点B的上方此时，AQ∥OB，依次求解点P的坐标即可．
    解答：解：（1）过点B作BE⊥x轴与点E，

    ∵二次函数解析式c=2，
    ∴OA=OB=AB=2，
    又∠BOE=90°-∠AOB=30°，
    ∴BE=1，OE=
    		3
    ，
    ∴点B的坐标为（
    		3
    ，1）．
    将点B坐标代入可得：3a+
    		3
    b+2=1①，
    对称轴=-
    b
    2a
    =
    		3
    3
    ②
    联立①②可得a=-1．b=
    2
    		3
    3
    ，
    故可得函数解析式为：y=-x2+
    2
    		3
    3
    x+2．

    （2）由题意得，AB=AO、AP=AQ，
    又∵∠PAQ+∠QOA=∠BAO+∠QAO，
    ∴∠PAO=∠QAB，
    故可得：△APO≌△AQB（SAS）．

    （3）①当Q在第三象限的抛物线上，设BQ与y轴交点为F，

    由（2）可得∠ABQ=90°，
    又∵∠BAO=60°，
    ∴∠QBO=30°，
    ∴AFB=∠AOB-∠QBO=30°，
    ∴AF=2AB=4，OF=2，即F（0，-2）
    把F（0，-2），B（
    		3
    ，1）代入y=kx+b得k=
    		3
    ，b=-2，
    ∴直线BQ解析式为：y=
    		3
    x-2，
    解方程组：
    y=
    		3
    x-2
    y=-x2+
    2
    		3
    3
    x+2
    ，
    解得：
    x1=-
    4
    		3
    3
    y1=-6
    ，
    x2=
    		3
    y2=1
    （舍去）
    故可得点Q的坐标为（-
    4
    		3
    3
    ，-6）；
    ②当Q与B重合时，Q的坐标为（
    		3
    ，1）
    ∴满足条件的点Q坐标为：（-
    4
    		3
    3
    ，-6）、（
    		3
    ，1）．

    （4）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行．
    ①当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形，

    设点P的坐标为x，
    ∵∠OBQ1=30°（第三问已做说明），OB=2，
    ∴OQ1=1，
    ∴点Q的坐标为（
    		3
    2
    ，-
    1
    2
    ），
    ∴AQ1=
    		(0-
    		3
    2
    )    2    +(2+
    1
    2
    )    2
    =AP=
    		(0-x)2+(2-0)2
    ，
    解得：x=-
    		3
    或
    		3
    （舍去）；
    ②当点P在x轴正半轴上时，点Q在点B的上方此时，若AQ∥OB，四边形AOQB即是梯形，

    ∵∠APO=30°，AO=2，
    ∴OP=2
    		3
    ，即点P的坐标为（2
    		3
    ，0）．
    综上可得P的坐标为（-
    		3
    ，0）或（2
    		3
    ，0）
    点评：此题考查了二次函数的综合题，综合考察的知识点较多，注意在解答每一问时，先作出图形，有助于我们分析解答，要求我们将所学知识的融会贯通．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．
    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是
    5
    29
    5
    29
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为
    5
    5
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数y=
    k
    x
    图象上一点，PA=OA，S△PAO=10，则反比例函数y=
    k
    x
    的解析式为（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．
    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案