Question

18．已知矩形ABCD中，AD=6，AB=12，P为边CD上的动点，过A点作AQ⊥AP，交CB的延长线于点Q，交AB于点E，若DP=x，CQ=y，
（1）试写出y与x的函数关系式．
（2）当x为何值时，△APE为等腰直角三角形？
（3）直接写出P点由D向C运动过程中，PQ的中点F运动的路径的长？

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得到BC=AD=6，∠D=∠DAB=∠ABC=90°，求得∠ABQ=∠B，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）由于△APE为等腰直角三角形，于是得到∠APE=90°或∠AEP=90°，当∠APE=90°或∠AEP=90°时，则∠PAE=45°，推出△ADP是等腰直角三角形，得到PD=AD=6，于是得到结论；
（3）以B为坐标原点，直线BC，BA分别为x轴与y轴建立如图所示的平面直角坐标系，求得A（0，12），C（6，0），D（6，12），当点P与D重合时，B与Q重合，得到P₁Q₁的中点F₁的坐标为（3，6），当点P与C重合时，得到P₃Q₃的中点F₃（-9，0），当P为CD的中点时，同理得F₂（-3，3），求得直线F₁F₃的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$，经检验F₂（-3，3）在直线F₁F₃上，于是得到PQ的中点F运动的路径为线段F₁F₃，即△AQ₃C的中位线，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD=6，∠D=∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠ABQ=∠B，
∵AQ⊥AP，
∴∠DAP=∠QAB=90°-∠PAB，
∴△ADP∽△ABQ，
∴$\frac{DP}{BQ}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{x}{y-6}$=$\frac{6}{12}$，
∴y=2x+6，
∴y与x的函数关系式为：y=2x+6；
（2）∵△APE为等腰直角三角形，
∴∠APE=90°或∠AEP=90°，
当∠APE=90°或∠AEP=90°时，则∠PAE=45°，
∵AB∥CD，
∴∠APD=∠PAE=45°，
∴△ADP是等腰直角三角形，
∴PD=AD=6，
即当x=6时，△APE为等腰直角三角形；
（3）以B为坐标原点，直线BC，BA分别为x轴与y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A（0，12），C（6，0），D（6，12），
当点P与D重合时，B与Q重合，
∴P₁Q₁的中点F₁的坐标为（3，6），
当点P与C重合时，
由（1）知，△ADP∽△ABQ，
∴$\frac{BQ}{12}=\frac{12}{6}$，
∴BQ=24，
∴P₃Q₃=30，
∴P₃Q₃的中点F₃（-9，0），
当P为CD的中点时，
同理得F₂（-3，3），
设直线F₁F₃的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6=3k+b}\\{0=-9k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线F₁F₃的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$，
当x=-3时，y=3，
∴F₂（-3，3）在直线F₁F₃上，
∴PQ的中点F运动的路径为线段F₁F₃，即△AQ₃C的中位线，
∴AQ₃=$\sqrt{A{B}^{2}+B{{Q}_{3}}^{2}}$=12$\sqrt{5}$，
∴PQ的中点F运动的路径为6$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线的性质，建立适当的平面直角坐标系是解题的关键．