Question

5．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在正方形的四条边上的三等分点，已知正方形ABCD的面积为10，则四边形PQMN的面积为4．

Answer 1

分析 先证明四边形PQMN是正方形，利用△CPD∽△CDH推出PC=3PD，求出PC、PD、PN即可解决问题．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，
∵DH=AE=BF=CG=$\frac{1}{3}$AB，
在△ADE和△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAE=∠ABF}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BAF，
∴∠ADE=∠BAF，
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠BAF+∠AED=90°，
∴∠AQE=∠DQM=90°，同理∠QPN=∠PNM=90°，
∴四边形PQMN是矩形，
在△ADQ和△BAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADQ=∠BAM}\\{∠AQD=∠AMB}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADQ≌△BAM，
∴AM=DQ，AQ=BM，同理可证CN=BM=DP=AQ，DQ=CP=BN=AM，
∴PQ=PN，
∴四边形PQMN是正方形，
∵∠DCH=∠DCP，∠CDH=∠CPD，
∴△CPD∽△CDH，
∴$\frac{CP}{CD}$=$\frac{DP}{DH}$，
∴$\frac{CP}{DP}$=$\frac{CD}{DH}$=3，设DP=a，CP=3a，
∵正方形ABCD面积=10，
∴CD=$\sqrt{10}$，
∴a²+9a²=10，
∴a²=1，
∵a＞0，
∴a=1，
∴DP=1，CP=3，PN=CP-CN=2，
∴四边形PQMN面积为4．
故答案为4．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．