Question

5．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A、B、C三点的坐标为（$\sqrt{3}$，0）、（3$\sqrt{3}$，0）、（0，5），点D在第一象限，且∠ADB=60°，则线段CD的长的最小值为2$\sqrt{7}$-2．

Answer 1

分析 作圆，求出半径和PC的长度，判出点D只有在CP上时CD最短，CD=CP-DP求解．

解答 解：作圆，使∠ADB=60°，设圆心为P，连结PA、PB、PC，PE⊥AB于E，如图所示：
∵A（$\sqrt{3}$，0）、B（3$\sqrt{3}$，0），
∴E（2$\sqrt{3}$，0）
又∠ADB=60°，
∴∠APB=120°，
∴PE=1，PA=2PE=2，
∴P（2$\sqrt{3}$，1），
∵C（0，5），
∴PC=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+（5-1）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
又∵PD=PA=2，
∴只有点D在线段PC上时，CD最短（点D在别的位置时构成△CDP）
∴CD最小值为：2$\sqrt{7}$-2．
故答案为：2$\sqrt{7}$-2．

点评 本题主要考查坐标与图形的性质，圆周角定理及勾股定理，解决本题的关键是判出点D只有在CP上时CD最短．