Question

6．如图，点O为平面直角坐标系的原点，在?ABCD中，A（0，4），B（2，0），C（4，0），过A作直线AE交x轴FE点，tan∠AEO=$\frac{4}{3}$
（1）直接写出直线AE的解析式y=$\frac{4}{3}$x+4或y=-$\frac{4}{3}$x+4；
（2）点P（0，t）是线段OA上的一个动点（点P不与O，A两点重合），过点P作x轴的平行线，分别交AE，AB，DC于点F，G，H，设线段FH的长为d，求d与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，点N是射线OA上一点，连接DF交AB于点M，当以BF为直径的圆经过点M时，恰好使∠AGN=∠BAO，求此时t的值及点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据题意求出点E的横坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）根据平行线的性质得出$\frac{FG}{BE}$=$\frac{PA}{OA}$，即$\frac{FG}{5}$=$\frac{4-t}{4}$或$\frac{FG}{1}$=$\frac{4-t}{4}$，求得FG=$\frac{5}{4}$（4-t）或FG=$\frac{1}{4}$（4-t），进而即可求得d与t之间的函数关系式；
（3）根据勾股定理先求得AB的值，然后根据余弦函数求得AG=$\frac{\sqrt{5}}{2}$（4-t），根据圆周角定理得出
∠BMF=90°，进而根据同角的余角相等得出∠DFH=∠BAO，然后根据平行线的性质∠CDF=∠BMF=90°，即可证得sin∠ABO=sin∠DFH，得出$\frac{OB}{AB}$=$\frac{DH}{FH}$=$\frac{DH}{d}$，即$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}（4-t）}{-\frac{5}{4}t+7}$，从而求得t的值，进而求得AP，PG，然后，根据勾股定理求得AN，即可求得N的坐标．

解答 解：（1）∵A（0，4），
∴OA=4，
∵tan∠AEO=$\frac{4}{3}$，
∴OE=3，
∴E（-3，0）或（3，0），
设直线AE的解析式为y=kx+b，
代入A、E的坐标即可求得y=$\frac{4}{3}$x+4和y=-$\frac{4}{3}$x+4；
故答案为y=$\frac{4}{3}$x+4或y=-$\frac{4}{3}$x+4；
（2）如图1，∵在?ABCD中，A（0，4），B（2，0），C（4，0），
∴AD=BC=2，
∵点P（0，t），
∴OP=t，PA=4-t，
∵FH∥OC，
∴$\frac{FG}{BE}$=$\frac{PA}{OA}$，
∴$\frac{FG}{5}$=$\frac{4-t}{4}$或$\frac{FG}{1}$=$\frac{4-t}{4}$，
解得FG=$\frac{5}{4}$（4-t）或FG=$\frac{1}{4}$（4-t），
∴d=2+$\frac{5}{4}$（4-t）或d=2-$\frac{1}{4}$（4-t），
解d=-$\frac{5}{4}$t+7或d=$\frac{1}{4}$t+1；
（3）∵OA=4，OB=2，
∴由勾股定理得，AB=2$\sqrt{5}$，
∵PA=4-t，
∵cos∠ABO=$\frac{AP}{AG}$=$\frac{4-t}{AG}$=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{4}{2\sqrt{5}}$，
∴AG=$\frac{\sqrt{5}}{2}$（4-t），
∵以BF为直径的圆经过点M，
∴∠BMF=90°，
∵∠MGF=∠AGP，
∴∠DFH=∠BAO，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CDF=∠BMF=90°，
∴sin∠ABO=sin∠DFH，
∴$\frac{OB}{AB}$=$\frac{DH}{FH}$=$\frac{DH}{d}$，
即$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}（4-t）}{-\frac{5}{4}t+7}$，
∴t=$\frac{12}{5}$，
∴OP=$\frac{12}{5}$，
∴AP=4-$\frac{12}{5}$=$\frac{8}{5}$，
∵FH∥OC，
∴$\frac{PG}{OB}$=$\frac{AP}{OA}$，
即$\frac{PG}{2}$=$\frac{\frac{8}{5}}{4}$，
∴PG=$\frac{4}{5}$，
∵∠AGN=∠BAO，
∴AN=GN，
设AN=GN=x，
∴PN=$\frac{8}{5}$-x，
在RT△PGN中，GN²=PN²+PG²，
即x²=（$\frac{8}{5}$-x）²+（$\frac{4}{5}$）²，解得x=1，
∴AN=1，
∴ON=3，
∴N（0，3）．

点评 本题是对一次函数的综合考查，主要利用了直线与坐标轴的交点的求解，平行四边形的对边平行且相等的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角的性质，解直角三角形的应用，综合性较强，难度较大．