Question

19．如图，在直角坐标系中，已知点M（2，3），连接OM，在第二象限作N，使ON⊥OM且ON=OM，y轴上有一点G（0，-4），过G作x轴的平行线l．
（1）求N点的坐标；
（2）在x轴上的一点P，满足PM+PN最短时，求P点的坐标；
（3）计算可知：MN=$\sqrt{26}$，探求以M、N、Q为顶点的等腰三角形，当Q在l上时，这样的三角形是否存在？如果存在，有几个，说说理由．

Answer 1

分析 （1）作NF⊥x轴于N，ME⊥x轴于E，则∠NFO=∠OEM=90°，先判定△ONF≌△MOE（ASA），再根据M（2，3），即可得出OE=NF=2，ME=FO=3，即可得到N（-3，2）；
（2）延长NF到N'，使N'F=NF，则N、N'关于x轴的对称．连接N'M交x轴于P，过N'作x轴的平行线，与ME的延长线交于C，构造等腰直角三角形，得出PF=FN'=2，进而得出OP=3-2=1，即可得到P（-1，0）；
（3）根据N（-3，2），M（2，3），G（0，-4），可得N到l的距离是6，M到l的距离是7，都大于$\sqrt{26}$，进而得出不存在以QM、QN为底边的等腰三角形．再作MN的中垂线，交l于点Q，则MQ=NQ，即△MNQ是等腰三角形，进而得到存在唯一点Q满足条件．

解答 解：（1）如图所示，作NF⊥x轴于N，ME⊥x轴于E，则∠NFO=∠OEM=90°．
∵ON⊥OM，
∴∠NOF+∠MOE=90°，
又∠M+∠MOE=90°，
∴∠M=∠NOF，
在Rt△ONF和Rt△MOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠NOF}\\{ON=OM}\\{∠NFO=∠OEM}\end{array}\right.$，
∴△ONF≌△MOE（ASA），
又M（2，3），
∴OE=NF=2，ME=FO=3，
∴N（-3，2）；

（2）延长NF到N'，使N'F=NF，则N、N'关于x轴的对称．
连接N'M交x轴于P，过N'作x轴的平行线，与ME的延长线交于C．
∵CM=CN'=3+2=5，∠C=90°，
∴∠MN'C=∠CMN'=45°，
∵N'C∥x轴，MC∥y轴，
∴∠PN'F=∠N'PF=45°，
∴PF=FN'=2，
∴OP=3-2=1，
∴P（-1，0）；

（3）在l上存在1个点Q．
∵N（-3，2），M（2，3），G（0，-4），
∴N到l的距离是6，M到l的距离是7，都大于$\sqrt{26}$，
∴不存在以QM、QN为底边的等腰三角形．
作MN的中垂线，交l于点Q，则MQ=NQ，即△MNQ是等腰三角形，
∴存在唯一点Q满足条件．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及轴对称的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，根据全等三角形的对应边相等得出结论．