Question

19．如图，在△ABC中，AB=3AC，∠BAC的平分线交BC于点D，过点B作BE⊥AD，垂足为E，求证：AD=DE．

Answer 1

分析 延长AC、BE交于F，取CF的中点G，连结EG，首先根据ASA证明△ABE≌△AFE，则AB=AF，BE=FE，再根据AB=3AC，易知AC=CG=FG，根据平行线等分线段定理和逆定理可证明结论．

解答 证明：如图，延长AC、BE交于F，取CF的中点G，连结EG，
在△ABE和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠FAE}\\{AE=AE}\\{∠BEA=∠FEA=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AFE（ASA），
∴AB=AF，BE=FE，
又∵AB=3AC，
∴AF=3AC，
∴CF=2AC，
又∵CG=FG，
∴AC=CG=FG
在△BCF中，
∵CG=FG，BE=FE，
∴EG∥BC，
又∵AC=CG，
∴AD=DE．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行线等分线段定理和逆定理，证明EG∥BC是解决问题的关键．