Question

如图，在△ABC中，BE、CF分别是∠ABC、∠ACB的平分线，AE⊥BE，AF⊥CF．试说明EF∥BC，且EF＝(AB＋AC－BC)的理由．

Answer 1

答案：
解析：

显然已知条件并没有给出中点，而结论中则要求说明平行和倍半问题，所以我们应设法构造出以EF为三角形的中位线，此时刚好有角平分线加垂线，于是容易联想到等腰三角形底边上的高线即为底边上的中线，而事实上，由于BE、CF分别是∠ABC、∠ACB的平分线，AE⊥BE，AF⊥CF，于是可以分别延长AE、AF交BC于点N、M，这样易知△BNE≌△BAE，△CMF≌△CAF，可知NE＝AE，MF＝AF，BN＝BA，CM＝CA，所以点E、F分别是AN、AM的中点，即EF是△AMN的中位线，所以EF∥BC，且EF＝MN＝(BN＋CM－BC)＝(AB＋AC－BC)．