Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，与抛物线y=ax²+bx交于点C、D．已知点C的坐标为（1，7），点D的横坐标为5．
（1）求直线与抛物线的解析式；
（2）将此抛物线沿对称轴向下平移几个单位，抛物线与直线AB只有一个交点？

Answer 1

分析：（1）把点C的坐标（1，7）代入y=kx+5得到k的值，从而得到一次函数的解析式；把x=5代入y=2x+5，得y=15，得到D点坐标，把C（1，7）、D（5，15）代入y=ax²+bx，即可组成方程组求出抛物线的解析式；
（2）把抛物线的顶点坐标，然后写出平移后的顶点式形式，再根据与直线只有一个交点联立方程求解即可得到平移后的顶点坐标，然后写出向下平移的单位即可．

解答：解：（1）把点C的坐标（1，7）代入y=kx+5得，7=k+5，
解得k=2，
∴y=2x+5，
把x=5代入y=2x+5，得y=15，
∴D（5，15）．
把C（1，7）、D（5，15）代入y=ax²+bx，得a=-1，b=8，
∴y=-x²+8x；

（2）抛物线y=-x²+8x的顶点坐标为（4，16），对称轴是直线x=4，
设向下平移后的抛物线的顶点坐标为（4，k），
所以，平移后的抛物线的解析式为y=-（x-4）²+k，
与直线y=2x+5联立消掉y得，-（x-4）²+k=2x+5，
整理得，x²-6x+21-k=0，
∵抛物线与直线AB只有一个交点，
∴△=b²-4ac=36-4（21-k）=0，
解得k=12，
16-12=4，
所以，此抛物线沿着对称轴向下平移4个单位．

点评：本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式以及二次函数的解析式和二次函数图形的平行问题，是中考常见题型．