Question

7．如图，若点C为优弧$\widehat{AB}$的中点，点D为AB的中点，将点D绕着点C按逆时针方向旋转60°后，得到点M，作直线BM，设BM与AB的夹角为α．
（1）求α的度数；
（2）判断直线BM与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点C为优弧$\widehat{AB}$的中点，得到AC=BC，根据等腰三角形的性质得到得到AD⊥AB，∠ACD=∠BCD，根据旋转的性质得到CD=CM，∠CMB=∠CDB=90°，∠ACB=∠DCM=60°于是得到结论；
（2）连接OB，由等腰三角形的性质得到∠OBC=∠OCB=30°，求得OB⊥BM，即可得到结论．

解答 解：（1）∵点C为优弧$\widehat{AB}$的中点，
∴AC=BC，
∵点D为AB的中点，
∴AD⊥AB，∠ACD=∠BCD，
∵将点D绕着点C按逆时针方向旋转60°后，得到点M，
∴CD=CM，∠CMB=∠CDB=90°，∠ACB=∠DCM=60°，∴∠ACD=∠BCD=∠MCB=30°，∴∠α=180°-∠ABD-∠ABM=60°；

（2）直线BM与⊙O相切，
理由：连接OB，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠OBM=90°，
∴OB⊥BM，
∴直线BM与⊙O相切．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．