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    如图，抛物线y=-
    1
    3
    x2+
    2
    3
    mx+n（其中m，n为常数且m＞n）与y轴正半轴交于A点，它的对称轴交x轴正半轴于C点，抛物线的顶点为P，Rt△ABC的直角顶点B在对称轴上，当它绕点C按顺时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C．
    （1）写出点A，P，A′的坐标（用含m，n的式子表示）；
    （2）若直线BB'交y轴于E点，求证：线段B′E与AA′互相平分；
    （3）若点A′在抛物线上且Rt△ABC的面积为1时，请求出抛物线的解析式并判断在抛物线的对称轴上是否存在点D，使△AA′D为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的D点坐标；若不存在，请说明理由．
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    分析：（1）根据抛物线的解析式易得出A点和P点的坐标．根据旋转的性质可看得出AB=A′B′，BC=B′C，因此A′的横坐标为P点的横坐标与A点横坐标的和，而A′的纵坐标与P点的横坐标相等，由此可得出A′的坐标．
    （2）在直角三角形BCB′中，BC=B′C，因此三角形BCB′是等腰直角三角形，即∠EBA=∠BB′C=45°，可得出EA=AB=A′B′，这样就证得了四边形AEA′B′是平行四边形，那么根据平行四边形的性质即可得出所证的条件．
    （3）①根据A′在抛物线上，将A′的坐标代入抛物线的解析式中可得出一个关于m，n的等量关系．已知了三角形ABC的面积为1，可得出另一个关于m、n的等量关系，联立两式即可求出m、n的值，也就求出了A、A′的坐标．
    ②本题可分三种情况：
    一：AD=A′D；二：AD=AA′；三：AA′=A′D；
    可根据对称轴方程设出D点坐标，然后根据坐标系中两点间的距离公式来列等量关系进而可求出D的坐标．
    解答：（1）解：令x=0，得到y=n，
    ∴A（0，n），且m＞n＞0
    ∵y=-
    1
    3
    x2+
    2
    3
    mx+n=-
    1
    3
    （x-m）2+
    1
    3
    m2+n，
    ∴P（m，
    1
    3
    m2+n）．
    根据题意得，∠ABC=∠AOC=∠OCB=90°，
    ∴四边形ABCO是矩形．
    ∴BC=AO=B′C=n，AB=A′B′=OC=m．
    ∴A′点坐标为（m+n，m）．

    （2）证明：连接EA′，AB′．
    ∵BC=B′C，∠BCB′=90°，
    ∴∠EB′O=45°．
    ∵∠EOB′=90°，
    ∴∠OEB′=45°，
    ∴OB′=OE=m+n．
    ∵AO=n，
    ∴EA=m，∵A′B′=m，
    ∴A′B′=EA（5分）
    ∵∠A′B′C=90°，
    ∴EA∥A′B′．
    ∴四边形AEA′B′是平行四边形．
    ∴对角线B′E与AA′互相平分．

    （3）解：∵点A′（m+n，m）在抛物线上，
    ∴m=-
    1
    3
    （m+n）2+
    2
    3
    （m+n）m+n．
    整理得：m-n=
    1
    3
    （m+n）（m-n）
    ∵m＞n，即m-n≠0．
    ∴m+n=3，即n=3-m．
    ∵
    1
    2
    AB•BC=1，即
    1
    2
    mn=1．
    把n=3-m代入
    1
    2
    m•n=1
    得，
    1
    2
    m（3-m）=1．
    解得
    m=2
    n=1
    或
    m=1
    n=2
    （不合题意舍去）
    ∴抛物线解析式为y=-
    1
    3
    x2+
    4
    3
    x+1．
    ∴A'（3，2），A（0，1）．
    结论：在抛物线的对称轴上存在点D，使△AA′D为等腰三角形．
    点D的坐标为：D1（2，1+
    		6
    ），D2（2，1-
    		6
    ），D3（2，5），D4（2，-1），D5（2，0）．
    点评：本题为二次函数综合题，考查了图形的旋转变换、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    26、已知：如图，抛物线C1，C2关于x轴对称；抛物线C1，C3关于y轴对称．抛物线C1，C2，C3与x轴相交于A、B、C、D四点；与y相交于E、F两点；H、G、M分别为抛物线C1，C2，C3的顶点．HN垂直于x轴，垂足为N，且|OE|＞|HN|，|AB|≠|HG|
    （1）A、B、C、D、E、F、G、H、M9个点中，四个点可以连接成一个四边形，请你用字母写出下列特殊四边形：菱形
    AHBG
    ；等腰梯形
    HGEF
    ；平行四边形
    EGFM
    ；梯形
    DMHC
    ；（每种特殊四边形只能写一个，写错、多写记0分）
    （2）证明其中任意一个特殊四边形；
    （3）写出你证明的特殊四边形的性质．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，抛物线交x轴于点A（-2，0），点B（4，0），交y轴于点C（0，4）．
    （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
    （2）若直线y=x交抛物线于M，N两点，交抛物线的对称轴于点E，连接BC，EB，EC．试判断△EBC的形状，并加以证明；
    （3）设P为直线MN上的动点，过P作PF∥ED交直线MN上方的抛物线于点F．问：在直线MN上是否存在点P，使得以P，E，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P及相应的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，抛物线的顶点坐标为M（1，4），与x轴的一个交点是A（-1，0），与y轴交于点B，直线x=1交x轴于点N．
    （1）求抛物线的解析式及点B的坐标；
    （2）求经过B、M两点的直线的解析式，并求出此直线与x轴的交点C的坐标；
    （3）若点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请你探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使精英家教网以P为圆心的圆经过点A，并且与直线BM相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（-3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，-3）精英家教网．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=-x+m过点C，交y轴于D点．
    （1）求抛物线的函数表达式；
    （2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；
    （3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴两交点是A（-1，0），B（3，0），则如图可知y＜0时，x的取值范围是（　　）
    A、-1＜x＜3B、3＜x＜-1C、x＞-1或x＜3D、x＜-1或x＞3

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