Question

【题目】如图，在四边形AOBC中，若∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，则下列结论正确的有（　　）

（1）A、O、B、C四点共圆

（2）AC＝BC

（3）cos∠1＝

（4）S四边形AOBC＝

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

由圆内接四边形的判定定理得出A、O、B、C四点共圆，（1）正确；

作CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，由角平分线的性质得出CD＝CE，证出∠CAD＝∠4，由AAS证明△ACD≌△BCE，得出AD＝BE，AC＝BC，（2）正确；

由三角函数定义得出cos∠1+cos∠2＝，即可得出（3）正确；

由三角形面积公式和三角函数得出S四边形AOBC＝，（4）正确；即可得出结论．

∵∠3+∠4＝180°，

∴A、O、B、C四点共圆，（1）正确；

作CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，如图所示：

则∠CDA＝∠CEB＝90°，

∵∠1＝∠2，

∴CD＝CE，

∵∠3+∠4＝180°，∠3+∠CAD＝180°，

∴∠CAD＝∠4，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE（AAS），

∴AD＝BE，AC＝BC，（2）正确；

∵cos∠1＝，cos∠2＝，

∴cos∠1+cos∠2＝，

∵∠1＝∠2，

∴cos∠1＝cos∠2，

∴2cos∠1＝，

∴cos∠1＝，（3）正确；

∵CD＝CE，sin∠1＝，

∴CD＝c×sin∠1，

∴S四边形AOBC＝S△OAC+S△BOC＝a×CD+b×CE＝（a+b）CD＝（a+b）×c×sin∠1＝，（4）正确；

正确的结论有4个，

故选：D．