已知:如图所示.点P.Q分别代表两个小区.直线l代表临近小区的一条公路．点P到直线l的距离为$\frac{3}{2}\sqrt{2}$千米.两点P.Q所在直线与直线l的夹角为45°.两小区P.Q之间的距离为1千米．根据居民出行的需要.计划在公路l上的某处设置一个公交车站．考虑到修路的费用问题.希望车站的位置到小区P和小区Q的距离之和m最短.请在公路l上� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知：如图所示，点P，Q分别代表两个小区，直线l代表临近小区的一条公路．点P到直线l的距离为$\frac{3}{2}\sqrt{2}$千米，两点P、Q所在直线与直线l的夹角为45°，两小区P、Q之间的距离为1千米．根据居民出行的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交车站．考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到小区P和小区Q的距离之和m最短，请在公路l上画出车站的位置（用点M表示，保留画图痕迹，不写作法），并求出m的值．

分析如图，作点P关于直线l的对称点P′，连接P′Q，交直线l与点M，点M即为所求，由已知条件得到∠QNM=45°，∠PON=90°，PO=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，于是得到∠OPN=∠QNM=45°，求得ON=OP=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，由对称的性质得P′N=PN=3，∠MNP′=45°，证得∠QNP′=90°，求出NQ=4，P′Q=5，根据PM=PM，即可得到结论．

解答解：如图，作点P关于直线l的对称点P′，连接P′Q，交直线l与点M，点M即为所求，
如图，由题意，∠QNM=45°，∠PON=90°，PO=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴∠OPN=∠QNM=45°，
∴ON=OP=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴PN=3，
由对称的性质得P′N=PN=3，∠MNP′=45°，
∴∠QNP′=90°，
∵PQ=1，
∴NQ=4，
∴P′Q=5，
∵PM=PM，
∴m=PM+QM=P′M+QM=P′Q=5．

点评此题主要考查了垂直平分线的作法以及两点之间线段最短的知识，解答此题的关键是熟知轴对称的性质以及线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等这一性质．

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