已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2);(x1<x2)
(1)当k=1,m=0,1时,求AB的长;
(2)当k=1,m为任何值时,猜想AB的长是否不变?并证明你的猜想.
(3)当m=0,无论k为何值时,猜想△AOB的形状.证明你的猜想.
(平面内两点间的距离公式).
(1)AB=
(2)猜想:当k=1,m为任何值时,AB的长不变,即AB=。理由见解析。
(3)当m=0,k为任意常数时,△AOB为直角三角形,理由见解析。
解析分析:(1)先将k=1,m=0分别代入,得出二次函数的解析式为y=x2,直线的解析式为y=x+1,联立,得x2﹣x﹣1=0,根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=1,x1•x2=﹣1,过点A、B分别作x轴、y轴的平行线,两线交于点C,证明△ABC是等腰直角三角形,根据勾股定理得出,根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB=;同理,当k=1,m=1时,AB=。
(2)当k=1,m为任何值时,联立,得x2﹣(2m+1)x+m2+m﹣1=0,根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=2m+1,x1•x2=m2+m﹣1,同(1)可求出AB=;
(3)当m=0,k为任意常数时,联立,得x2﹣kx﹣1=0,根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=k,x1•x2=﹣1,根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB2=k4+5k2+4,OA2+OB2═k4+5k2+4,由勾股定理的逆定理判定△AOB为直角三角形。
解:(1)当k=1,m=0时,如图,
由得x2﹣x﹣1=0,
∴x1+x2=1,x1•x2=﹣1,
过点A、B分别作x轴、y轴的平行线,两线交于点C,
∵直线AB的解析式为y=x+1,
∴∠BAC=45°,△ABC是等腰直角三角形。
∴ 。
同理,当k=1,m=1时,AB=。
(2)猜想:当k=1,m为任何值时,AB的长不变,即AB=。理由如下:
由,得x2﹣(2m+1)x+m2+m﹣1=0,
∴x1+x2=2m+1,x1•x2=m2+m﹣1。
∴。
(3)当m=0,k为任意常数时,△AOB为直角三角形,理由如下:
由,得x2﹣kx﹣1=0,
∴x1+x2=k,x1•x2=﹣1。
∴AB2=(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2=(x1﹣x2)2+(kx1﹣kx2)2=(1+k2)(x1﹣x2)2
=(1+k2)[(x1+x2)2﹣4x1•x2]=(1+k2)(4+k2)=k4+5k2+4。
又∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+(kx1+1)2+(kx2+1)2
=x12+x22+(k2x12+2kx1+1)+(k2x22+2kx2+1)=(1+k2)(x12+x22)+2k(x1+x2)+2
=(1+k2)(k2+2)+2k•k+2=k4+5k2+4,
∴AB2=OA2+OB2。
∴△AOB为直角三角形。
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如图,在直角体系中,直线AB交x轴于点A(5,0),交y轴于点B,AO是⊙M的直径,其半圆交AB于点C,且AC=3。取BO的中点D,连接CD、MD和OC。
(1)求证:CD是⊙M的切线;
(2)二次函数的图象经过点D、M、A,其对称轴上有一动点P,连接PD、PM,求△PDM的周长最小时点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,当△PDM的周长最小时,抛物线上是否存在点Q,使?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。
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已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(1,0),(5,0),(3,﹣4).
(1)求该二次函数的解析式;
(2)当y>﹣3,写出x的取值范围;
(3)A、B为直线y=﹣2x﹣6上两动点,且距离为2,点C为二次函数图象上的动点,当点C运动到何处时△ABC的面积最小?求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值.
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如图,抛物线y=a(x﹣h)2+k经过点A(0,1),且顶点坐标为B(1,2),它的对称轴与x轴交于点C.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)在第一象限内的抛物线上求点P,使得△ACP是以AC为底的等腰三角形,请求出此时点P的坐标.
(3)上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点?若是,请说明理由;若不是,请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标.
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如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA=2,OC=6,在OC上取点D将△AOD沿AD翻折,使O点落在AB边上的E点处,将一个足够大的直角三角板的顶点P从D点出发沿线段DA→AB移动,且一直角边始终经过点D,另一直角边所在直线与直线DE,BC分别交于点M,N.
(1)填空:D点坐标是( , ),E点坐标是( , );
(2)如图1,当点P在线段DA上移动时,是否存在这样的点M,使△CMN为等腰三角形?若存在,请求出M点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,当点P在线段AB上移动时,设P点坐标为(x,2),记△DBN的面积为S,请直接写出S与x之间的函数关系式,并求出S随x增大而减小时所对应的自变量x的取值范围.
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如图,直线x=-4与x轴交于点E,一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A,交直线x=-4于点B,过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C,直线OC交直线AB于D,且AD:BD=1:3.
(1)求点A的坐标;
(2)若△OBC是等腰三角形,求此抛物线的函数关系式.
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已知抛物线过点A(1,0),顶点为B,且抛物线不经过第三象限。
(1)使用a、c表示b;
(2)判断点B所在象限,并说明理由;
(3)若直线经过点B,且于该抛物线交于另一点C(),求当x≥1时y1的取值范围。
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