Question

17．已知下列等式：
①3²-1²=8，
②5²-3²=16，
③7²-5²=24，
…
（1）请仔细观察，写出第4个式子；
（2）根据以上式子的规律，写出第n个式子，并用所学知识说明第n个等式成立；
（3）利用（2）中发现的规律计算：8+16+24+…+792+800．

Answer 1

分析 （1）根据所给式子可知3²-1²=（2×1+1）²-（2×1-1）²=8×1；5²-3²=（2×2+1）²-（2×2-1）²=8×2；7²-5²=（2×3+1）²-（2×3-1）²=8×3；由此易得第4个式子；
（2）根据（1）的推理可得第n个式子，利用完全平方公式可证得结果；
（3）利用（2）的规律可得8+16+24+…+792+800=3²-1²+5²-3²+7²-5²+…+201²-199²，易得结果．

解答 解：（1）∵第1个式子为：3²-1²=（2×1+1）²-（2×1-1）²=8×1；
第2个式子为：5²-3²=（2×2+1）²-（2×2-1）²=8×2；
第3个式子为：7²-5²=（2×3+1）²-（2×3-1）²=8×3；
∴第4个式子为：（2×4+1）²-（2×4-1）²=9²-7²=32；
即第4个式子为：9²-7²=32；

（2）由（1）的推理过程可得，
第n个式子为：（2n+1）²-（2n-1）²=8n；
∵左边=4n²+4n+1-4n²+4n-1=8n=右边，
∴所写等式成立；

（3）8+16+24+…+792+800=3²-1²+5²-3²+7²-5²+…+201²-199²
=201²-1
=40400．

点评 本题主要考查了数字的变化规律，发现规律运用规律是解答此题的关键．