Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线PE，垂足点为E，连接AE．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线PF，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．

Answer 1

【答案】
（1）解：将点A和点B的坐标代入得： ，

解得：a=1，b=﹣2．

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴抛物线的顶点坐标为D为（﹣1，4）

（2）解：设AD的解析式为y=kx+b，将点A和点D的坐标代入得： ，

解得：k=2，b=6．

∵P在AD上，

∴P（x，2x+6）．

∴S= PEyP= （﹣x）（2x+6）=﹣x2﹣3x（﹣3＜x＜﹣1）．

∴当x=﹣ =﹣ 时，S取值最大值

（3）解：如图1所示：设P′F与y轴交与点N，过点P′作P′M⊥y轴与点M．

∵当x=﹣ 时，S取值最大值，

∴P（﹣ ，3）．

由翻折的性质可知：∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E= ．

∵PF∥y轴．

∴∠PFE=∠FEN．

∴EN=FN．

设EN=m，则FN=m，P′N=3﹣m．

∵在Rt△P′EN中，P′N2+P′E2=EN2，

∴（3﹣m）2+（ ）2=m2，解得：m= ．

∵S△P′EN= P′NP′E= ENP′M，

∴P′M= ．

∵在Rt△EMP′中，EM= = ，

∴OM=EO﹣EM= ．

∴P′（ ， ）．

把x= 代入抛物线的解析式得：y= ≠ ，

∴点P′不在该抛物线上

【解析】（1）用待定系数法将A、B两点坐标代入函数解析式即可求解，再用配方法或代入顶点公式求出顶点坐标。
（2）要求△PAE得面积，由于PE⊥y轴，△PAE得面积=PEPE边上的高，因此就得求出直线AD的函数解析式，根据点P在直线AD上，即可用含x的代数式求出PE、PE边上的高，即可写出s与x 的函数关系式，再求出顶点坐标即可求得结果。
（3）要求点P′的坐标，过点P′作P′M⊥y轴与点M．由（2）得出点P的坐标，根据折叠的性质，可以证得∠PFE=∠P′FE，PF=P′F，PE=P′E，再证明EN=FN，在Rt△P′EN中，运用勾股定理求出EN的长，再根据直角三角形的面积等于两直角边积的一半等于斜边乘以斜边上的高，求出P′M的长，在Rt△EMP′中求出EM的长，即可求得OM的长，就可用写出点P′的坐标，再将点P′的横坐标代入函数解析式就可知道点P′是否在此抛物线上。