Question

【题目】如图，二次函数y=x2﹣3x的图象经过O（0，0），A（4，4），B（3，0）三点，以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得到△OA′B′，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过O，A′，B′三点．

（1）画出△OA′B′，试求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的表达式；

（2）点P（m，n）在二次函数y=x2﹣3x的图象上，m≠0，直线OP与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点Q（异于点O）．

①连接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范围；

②当点Q在第一象限内，过点Q作QQ′平行于x轴，与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交于另一点Q′，与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点M，N（M在N的左侧），直线OQ′与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点P′．△Q′P′M∽△QB′N，则线段　NQ的长度等于　 　．

Answer 1

【答案】（1）二次函数的解析式为y=x2﹣3x；（2）①1﹣＜m＜1+，且m≠0；②6

【解析】

(1)根据位似的性质得出A′（8，8），B′（6，0），将O（0，0），A′（8，8），B′（6，0）代入y=ax2+bx+c，利用待定系数法进行求解即可得；

（2）①如图1，由P（m，n）在二次函数y=x2﹣3x的图象上，可得P（m，m2﹣3m），根据待定系数法易求得OP的解析是为y=（m﹣3）x，继而可求得Q（2m，2m2﹣6m），过点P作PC⊥x轴于点C，过点Q作QD⊥x轴于点D，证明△OCP∽△ODQ，可得OQ=2OP，然后根据2AP＞OQ，可得AP＞OP，从而可得关于m的不等式，解不等式即可得；

②如图2，P（m，m2﹣3m），Q（2m，2m2﹣6m），根据点Q在第一象限，可得m＞3，QQ′的表达式是y=2m2﹣6m，解方程组，可得点Q′（6﹣2m，2m2﹣6m），继而可得OQ′的解析式为y=﹣mx，从而求得点P′（3﹣m，m2﹣3m），由QQ′与y=x2﹣3x交于点M、N，求出点M、N的坐标，再根据△Q′P′M∽△QB′N，根据相似三角形的性质可得关于的方程，解方程求出m的值即可得答案.

（1）如图1，由以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，

得，

∵A（4，4），B（3，0），

∴A′（8，8），B′（6，0），

将O（0，0），A′（8，8），B′（6，0）代入y=ax2+bx+c，

得，解得，

∴二次函数的解析式为y=x2﹣3x；

（2）①如图1，∵P（m，n）在二次函数y=x2﹣3x的图象上，

∴n=m2﹣3m，

∴P（m，m2﹣3m），

设直线OP的解析式为y=kx，将点P（m，m2﹣3m）代入函数解析式，

得mk=m2﹣3m，

∴k=m﹣3，

∴OP的解析是为y=（m﹣3）x，

∵OP与y═x2﹣3x交于Q点，

∴，解得（不符合题意舍去），，

∴Q（2m，2m2﹣6m），

过点P作PC⊥x轴于点C，过点Q作QD⊥x轴于点D，

则OC=|m|，PC=|m2﹣3m|，OD=|2m|，QD=|2m2﹣6m|，

∵，

∴△OCP∽△ODQ，

∴OQ=2OP，

∵2AP＞OQ，

∴2AP＞2OP，即AP＞OP，

∴，

化简，得m2﹣2m﹣4＜0，解得1﹣＜m＜1+，且m≠0；

②如图2，P（m，m2﹣3m），Q（2m，2m2﹣6m）

∵点Q在第一象限，

∴，解得m＞3，

由Q（2m，2m2﹣6m），得QQ′的表达式是y=2m2﹣6m，

∵QQ′′交y=x2﹣3x交于点Q′，

，解得（不符合题意，舍），，

∴Q′（6﹣2m，2m2﹣6m），

设OQ′的解析是为y=kx，（6﹣2m）k=2m2﹣6m，

解得k=﹣m，OQ′的解析式为y=﹣mx，

∵OQ′与y=x2﹣3x交于点P′，

∴﹣mx=x2﹣3x，

解得x1=0（舍），x2=3﹣m，

∴P′（3﹣m，m2﹣3m），

∵QQ′与y=x2﹣3x交于点M、N，

∴x2﹣3x=2m2﹣6m，

解得x1=，x2=，

∵M在N左侧，

∴M（，2m2﹣6m），N（，2m2﹣6m），

∵△Q′P′M∽△QB′N，

∴，

∵，

即，

化简得：m2﹣12m+27=0，

解得：m1=3（舍），m2=9，

∴N（12，108），Q（18，108），

∴QN=6，

故答案为：6.