Question

如图，直线l₁的解析表达式为：y=-3x+3，且l₁与x轴交于点D，直线l₂经过点A，B，直线l₁，l₂交于点C．
（1）求直线l₂的函数关系式；
（2）求△ADC的面积；
（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设直线l₂的函数关系式为y=kx+b，将x与y的两对值代入计算求出k与b的值，即可确定出直线l₂的函数关系式；
（2）联立两直线解析式求出交点C坐标，由A与D的坐标求出AD的长，三角形ADC由AD为底，C纵坐标的绝对值为高，利用三角形面积公式求出即可；
（3）存在，如图所示，这样的点有3各，分别求出三种情况H的坐标即可．

解答：解：（1）设直线l₂的函数关系式为y=kx+b，
∵当x=4时，y=0；当x=3时，y=-

3

2

，
代入得：

4k+b=0 3k+b=- 3 2

，
解得：

k= 3 2 b=-6

，
则直线l₂的函数关系式为y=

3

2

x-6；

（2）由直线l₁：y=-3x+3，直线l₂：y=

3

2

x-6联立求得：C（2，-3），
令直线l₁：y=-3x+3，y=0，得到x=1，即D（1，0），
∵AD=OA-OD=4-1=3，C纵坐标的绝对值为3，
∴S_△ADC=

1

2

×3×3=

9

2

；

（3）存在，这样的点有3种情况，如图所示，
过H₁作H₁P⊥x轴，过C作CQ⊥x轴，
∵四边形ACDH₁为平行四边形，
∴△CDQ≌△H₁AP，
∴H₁P=CQ=3，AP=DQ=OQ-OD=2-1=1，OP=OA-AP=4-1=3，
∴H₁（3，3）；
∵C（2，-3），AD=3，
∴H₂（-1，-3），H₃（5，-3），
综上，H点坐标是（3，3），（-1，-3），（5，-3）．

点评：此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点坐标，以及平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．