Question

4．如图，已知矩形ABCD，AB=$\sqrt{3}$，BC=3，在BC上取两点E，F（E在F左边），以EF为边作等边三角形PEF，使顶点P在AD上，PE，PF分别交AC于点G，H．
（1）求△PEF的边长；
（2）在不添加辅助线的情况下，当F与C不重合时，从图中找出一对相似三角形，并说明理由；
（3）求证：PH-BE=1．

Answer 1

分析 （1）要求△PEF的边长，需构造直角三角形，那么就过P作PQ⊥BC于Q．利用∠PFQ的正弦值可求出PF，即△PEF的边长；
（2）由矩形ABCD中，AD∥BC，易得△APH∽△CFH；
（3）猜想：PH-BE=1．利用∠ACB的正切值可求出∠ACB的度数，再由∠PFE=60°，可得出△HFC是等腰三角形，因此就有BE+EF+CF=BE+PH+2FH=3．再把其中FH用PH表示，化简即可．

解答 解：（1）过P作PQ⊥BC于Q．
∵矩形ABCD中，∠B=90°，即AB⊥BC，
又∵AD∥BC，
∴PQ=AB=$\sqrt{3}$，
∵△PEF是等边三角形，
∴∠PFQ=60°．
在Rt△PQF中，PF=$\frac{PQ}{sin60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
∴△PEF的边长为2；

（2）△APH∽△CFH．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴△APH∽△CFH；

（3）在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{3}$，BC=3，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴∠ACB=30°，
∵△PEF是等边三角形，
∴∠2=60°，PF=EF=2，
∵∠2=∠1+∠3，
∴∠3=30°，
∴∠1=∠3，
∴FC=FH，
∵PH+FH=2，BE+FC=3-EF=3-2=1，
∴PH-BE=1．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了矩形的性质、相似三角形的判定、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．