【题目】如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AC为直径,,DE⊥BC,垂足为E.
(1)判断直线ED与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若CE=1,AC=4,求阴影部分的面积.
【答案】(1)与相切.理由见解析;(2).
【解析】
(1)连结OD,如图,根据圆周角定理,由得到∠BAD=∠ACD,再根据圆内接四边形的性质得∠DCE=∠BAD,所以∠ACD=∠DCE;利用内错角相等证明OD∥BC,而DE⊥BC,则OD⊥DE,于是根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线;
(2)作OH⊥BC于H,易得四边形ODEH为矩形,所以OD=EH=2,则CH=HE﹣CE=1,于是有∠HOC=30°,得到∠COD=60°,然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S扇形OCD﹣S△OCD进行计算即可.
(1)直线ED与⊙O相切.理由如下:
连结OD,如图,∵,∴∠BAD=∠ACD.
∵∠DCE=∠BAD,∴∠ACD=∠DCE.
∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,而∠OCD=∠DCE,∴∠DCE=∠ODC,∴OD∥BC.
∵DE⊥BC,∴OD⊥DE,∴DE为⊙O的切线;
(2)作OH⊥BC于H,则四边形ODEH为矩形,∴OD=EH.
∵CE=1,AC=4,∴OC=OD=2,∴CH=HE﹣CE=2﹣1=1.在Rt△OHC中,∵OC=2,CH=1,∠OHC=90°,∠HOC=30°,∴∠COD=60°,∴阴影部分的面积=S扇形OCD﹣S△OCD
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π.
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【题目】阅读理解:如果两个正数a,b,即a>0,b>0,有下面的不等式:,当且仅当a=b时取到等号我们把叫做正数a,b的算术平均数,把叫做正数a,b的几何平均数,于是上述不等式可表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.它在数学中有广泛的应用,是解决最值问题的有力工具.
初步探究:(1)已知x>0,求函数y=x+的最小值.
问题迁移:(2)学校准备以围墙一面为斜边,用栅栏围成一个面积为100m2的直角三角形,作为英语角,直角三角形的两直角边各为多少时,所用栅栏最短?
创新应用:(3)如图,在直角坐标系中,直线AB经点P(3,4),与坐标轴正半轴相交于A,B两点,当△AOB的面积最小时,求△AOB的内切圆的半径.
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【题目】下面是小明设计的“作三角形的高线”的尺规作图过程.
已知:△ABC.
求作:BC边上的高线.
作法:如图,
①以点C为圆心,CA为半径画弧;
②以点B为圆心,BA为半径画弧,两弧相交于点D;
③连接AD,交BC的延长线于点E.
所以线段AE就是所求作的BC边上的高线.
根据小明设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面证明.
证明:∵CA=CD,
∴点C在线段AD的垂直平分线上( ) (填推理的依据).
∵ = ,
∴点B在线段AD的垂直平分线上.
∴ BC是线段AD的垂直平分线.
∴AD⊥BC.
∴AE就是BC边上的高线.
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【题目】如图所示,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(﹣2,0)、B(4,0)、C(0,﹣8),与直线y=x﹣4交于B,D两点
(1)求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标;
(2)点P为直线BD下方抛物线上的一个动点,试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标;
(3)点Q是线段BD上异于B、D的动点,过点Q作QF⊥x轴于点F,交抛物线于点G,当△QDG为直角三角形时,直接写出点Q的坐标.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB边的中点,F是线段BC上的动点,将ΔEBF沿EF所在直线折叠得到ΔEB' F,连接B' D,则B' D的最小值是_____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与反比例函数在第一象限内的图象相交于点.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)将直线向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点,与轴交于点,且的面积为,求直线的解析式.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于、两点(点在点的左侧),与轴交于点,点为抛物线的顶点.
(1)若点坐标为,求抛物线的解析式和点的坐标;
(2)若点为抛物线对称轴上一点,且点的纵坐标为,点为抛物线在轴上方一点,若以、、、为顶点的四边形为平行四边形时,求的值;
(3)直线与(1)中的抛物线交于点、(如图2),将(1)中的抛物线沿着该直线方向进行平移,平移后抛物线的顶点为,与直线的另一个交点为,与轴的交点为,在平移的过程中,求的长度;当时,求点的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线,经过点、,过点作轴的平行线交抛物线于另一点.
(1)求抛物线的表达式及其顶点坐标;
(2)如图,点是第一象限中上方抛物线上的一个动点,过点作于点,作轴于点,交于点,在点运动的过程中,的周长是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由;
(3)如图,连接,在轴上取一点,使和相似,请求出符合要求的点坐标.
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