Question

14．如图，已知⊙O的半径是4cm，弦AB=4$\sqrt{2}$cm，AC是⊙O的切线，切AC=4cm，连接BC．
（1）证明：BC是⊙O的切线；
（2）把△ABC沿射线CO方向平移d cm（d＞0），使△ABC的边所在的直线与⊙O相切，求d（5）的值．

Answer 1

分析 （1）连接OA、OB．作OD⊥AB于点D，由切线的性质得出∠OAC=90°，由垂径定理得出AD=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，在Rt△OAD中，求出∠AOD=45°，同理∠BOD=45°，证出AC∥OB，得出四边形OABC为平行四边形，证出四边形OABC是矩形，得出OB⊥BC，即可得出结论；
（2）①延长DO交⊙O于E，把△ABC沿射线CO方向平移，使AB边与⊙O相切，则平移的距离为DE的长，由等腰直角三角形的性质得出OD=AD=2$\sqrt{2}$，求出DE的长即可；②同①即可得出结果．

解答 （1）证明：连接OA、OB．作OD⊥AB于点D，如图1所示：
∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，即∠OAC=90°，
∵OD⊥AB，AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
在Rt△OAD中，$\frac{AD}{OA}$=$\frac{2\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠AOD=45°，
同理∠BOD=45°，
∴∠BOA=90°，
∴∠OAC+∠BOA=180°，
∴AC∥OB，
∵AC=OB=4，
∴四边形OABC为平行四边形，
∵∠OAC=90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴∠OBC=90°，
即OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：①延长DO交⊙O于E，如图2所示：
∵OD⊥AB，把△ABC沿射线CO方向平移，使AB边与⊙O相切，
则平移的距离为DE的长，
∵在Rt△OAD中，∠AOD=45°，
∴OD=AD=2$\sqrt{2}$，
∵OE=4，
∴DE=OD+OE=2$\sqrt{2}$+4；
②如图3所示：OC'=OC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，CC'=8$\sqrt{2}$cm；
综上所述，d的值为（4+2$\sqrt{2}$）cm或8$\sqrt{2}$cm．

点评 本题考查了切线的判定与性质、平移的性质、垂径定理、平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明四边形是矩形是解决问题（1）的关键．