分析 (1)连接OA、OB.作OD⊥AB于点D,由切线的性质得出∠OAC=90°,由垂径定理得出AD=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$,在Rt△OAD中,求出∠AOD=45°,同理∠BOD=45°,证出AC∥OB,得出四边形OABC为平行四边形,证出四边形OABC是矩形,得出OB⊥BC,即可得出结论;
(2)①延长DO交⊙O于E,把△ABC沿射线CO方向平移,使AB边与⊙O相切,则平移的距离为DE的长,由等腰直角三角形的性质得出OD=AD=2$\sqrt{2}$,求出DE的长即可;②同①即可得出结果.
解答 (1)证明:连接OA、OB.作OD⊥AB于点D,如图1所示:
∵AC是⊙O的切线,
∴OA⊥AC,即∠OAC=90°,
∵OD⊥AB,AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$,
在Rt△OAD中,$\frac{AD}{OA}$=$\frac{2\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴∠AOD=45°,
同理∠BOD=45°,
∴∠BOA=90°,
∴∠OAC+∠BOA=180°,
∴AC∥OB,
∵AC=OB=4,
∴四边形OABC为平行四边形,
∵∠OAC=90°,
∴四边形OABC是矩形,
∴∠OBC=90°,
即OB⊥BC,
∴BC是⊙O的切线;
(2)解:①延长DO交⊙O于E,如图2所示:
∵OD⊥AB,把△ABC沿射线CO方向平移,使AB边与⊙O相切,
则平移的距离为DE的长,
∵在Rt△OAD中,∠AOD=45°,
∴OD=AD=2$\sqrt{2}$,
∵OE=4,
∴DE=OD+OE=2$\sqrt{2}$+4;
②如图3所示:OC'=OC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$,CC'=8$\sqrt{2}$cm;
综上所述,d的值为(4+2$\sqrt{2}$)cm或8$\sqrt{2}$cm.
点评 本题考查了切线的判定与性质、平移的性质、垂径定理、平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰直角三角形的性质等知识;本题综合性强,有一定难度,证明四边形是矩形是解决问题(1)的关键.
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