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    如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=2OA=4．
    （1）求该抛物线的函数表达式；
    （2）设P是（1）中抛物线上的一个动点，以P为圆心，R为半径作⊙P，求当⊙P与抛物线的对称轴l及x轴均相切时点P的坐标．
    （3）动点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点F从点B出发，以每秒个单位长度的速度向终点C运动，过点E作EG∥y轴，交AC于点G（如图2）．若E、F两点同时出发，运动时间为t．则当t为何值时，△EFG的面积是△ABC的面积的？

    【答案】分析：（1）根据OA、OB的长度求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
    （2）根据抛物线解析式求出对称轴为x=1，并根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后根据点P到直线x=1与x轴的距离相等列出方程，再解绝对值方程即可得解；
    （3）根据抛物线解析式求出点C的坐标，然后求出△ABC的面积，并利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AC的解析式，判断出△BOC是等腰直角三角形，然后用t表示出点E的坐标，从而求出EG的长度，过F作FM⊥x轴于点M，用t表示出BM的长度，然后用t表示出EM的长度，即△EFG边EG上的高，再根据三角形的面积公式列式求解即可．
    解答：解：（1）∵OB=2OA=4，
    ∴OA=2，
    ∴点A（-2，0），B（4，0），
    把点A、B的坐标代入抛物线y=x2+bx+c得，，
    解得，
    ∴抛物线的函数表达式为y=x2-x-4；

    （2）抛物线对称轴为x=-=-=1，
    设点P坐标为（x，x2-x-4），
    ∵⊙P与抛物线的对称轴l及x轴均相切，
    ∴|x-1|=|x2-x-4|，
    即x-1=x2-x-4①或x-1=-（x2-x-4）②，
    解方程①，整理得，x2-4x-6=0，
    解得x1=2+，x2=2-，
    当x1=2+时，y1=2+-1=1+，
    当x2=2-时，y2=2--1=1-，
    此时点P的坐标为（2+，1+）或（2-，1-），
    解方程②，整理得，x2-10=0，
    解得x3=，x4=-，
    当x3=时，y3=1-，
    当x4=-时，y4=1+，
    此时，点P的坐标为（，1-）或（-，1+），
    综上所述，点P的坐标为（2+，1+）或（2-，1-）或（，1-）或（-，1+）；

    （3）抛物线解析式当x=0时，y=-4，
    所以，点C的坐标为（0，-4），
    又∵AB=OA+OB=2+4=6，
    ∴S△ABC=×6×4=12，
    设直线AC的解析式为y=kx+b，则，
    解得，
    所以，直线AC的解析式为y=-2x-4，
    ∵点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，
    ∴AE=t，点E的坐标为（-2+t，0），
    ∴EG=-2（-2+t）-4=-2t，
    ∵B（4，0），C（0，-4），
    ∴△BOC是等腰直角三角形，
    如图，过点F作FM⊥x轴于点M，
    ∵点F从点B出发，以每秒个单位长度的速度向终点C运动，
    ∴BF=t，
    ∴BM=×t=t，
    ∴ME=AB-AE-BM=6-t-t=6-2t，
    即点F到EG的距离为（6-2t），
    ∴S△EFG=×|-2t|×（6-2t）=-2t2+6t，
    又△EFG的面积是△ABC的面积的，
    ∴-2t2+6t=×12，
    整理得，t2-3t+2=0，
    解得t1=1，t2=2，
    ∴当t为1秒或2秒时，△EFG的面积是△ABC的面积的．
    点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求函数解析式（二次函数解析式与一次函数解析式），直线与圆相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，解一元二次方程，以及三角形的面积，本题思路比较复杂，运算量较大，要注意分情况讨论求解，计算时要认真仔细．
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    如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8：
    （1）此抛物线的解析式；
    （2）如图2，若点P为所求抛物线上的一动点，试判断以点P为圆心，PB为半径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．
    （3）如图2，设点P在抛物线上且与点A不重合，直线PB与抛物线的另一个交点为Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，连接PO、QO．求证：△QMO∽△PNO．
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    （1）求b，c的值．
    （2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
    （3）如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．

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    （2013•南沙区一模）如图1，已知抛物线y=
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    2
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    （1）求该抛物线的函数表达式；
    （2）设P是（1）中抛物线上的一个动点，以P为圆心，R为半径作⊙P，求当⊙P与抛物线的对称轴l及x轴均相切时点P的坐标．
    （3）动点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点F从点B出发，以每秒
    		2
    个单位长度的速度向终点C运动，过点E作EG∥y轴，交AC于点G（如图2）．若E、F两点同时出发，运动时间为t．则当t为何值时，△EFG的面积是△ABC的面积的
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    如图1，已知抛物线y=ax2-2ax+b经过梯形OABC的四个顶点，若BC=10，梯形OABC的面积为18．
    （1）求抛物线解析式；
    （2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，平移后的两条直线分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．用含S的代数式表示x2-x1，并求出当S=36时点A1的坐标；
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，已知抛物线的顶点为A（O，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8．
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．
    ①求证：PB=PS；
    ②判断△SBR的形状．

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