Question

【题目】如图，在锐角三角形中，
（1）猜想 ， ， 之间的关系，并证明．
（2）猜想cosC与a，b，c之间的关系？并证明．

Answer 1

【答案】
（1）解： = = ，

如图，作AD⊥BC于点D，作BE⊥AC于点E，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∴AD=ABsinB=ACsinC，即csinB=bsinC，

则 = ，

同理可得BE=csinA=asinC，即 = ，

∴ = =

（2）解：∵在Rt△ACD中，CD=ACcosC=bcosC，

∴BD=BC﹣CD=a﹣bcosC，

∵AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，

∴c2﹣（a﹣bcosC）2=b2﹣（bcosC）2，

整理得cosC=

【解析】（1）作AD⊥BC、作BE⊥AC，由AD=ABsinB=ACsinC，即csinB=bsinC得 = ，同理可得 = ，继而可得 = = ；（2）由CD=ACcosC=bcosC知BD=BC﹣CD=a﹣bcosC，根据AB2﹣BD2=AC2﹣CD2得c2﹣（a﹣bcosC）2=b2﹣（bcosC）2 ， 整理得cosC= ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解解直角三角形的相关知识，掌握解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．