Question

如图，在△ABC中，∠ABC=120°，AB=CB，BH⊥AC于H，D是射线BH上一点，连接AD，以点A为旋转中心，将射线AD顺时针旋转

1

2

∠ABH，交射线BH于E，在射线AE上取一点F，连接FC，点D在AF的垂直平分线上．

（1）如图1，求证：∠BCF=90°；
（2）连接BF，取BF的中点G，连接DG，探究线段FC、DG、BH三条线段间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）连接DF、DC，先证AD=FD=DC，∠DFC=∠DCF，∠DAC=∠DCA，∠BAC=∠BCA=30°，再证∠DFA=30°，然后求出∠DCF+∠DCA=60°，得出∠BCF=∠BCA+∠ACF=90°；即可证出结论；
（2）延长CF、BF交于点L，过G作GJ∥FC交于J，连接GC；先证DG∥BC，再证∠I=∠GJD=30°，得出JG=

3

DG，然后证出△BGJ∽△BFI，得出比例式

JG

IF

=

BG

BF

=

1

2

，证出IF=2JG=2

3

DG，IC=2

3

BH，最后由IC=IF+CF，证出BH+DG=

3

6

CF，

解答：解：（1）证明：连接DF、DC，如图：
∵AB=CB，BH⊥AC，点D在AF的垂直平分线上，
∴AD=FD=DC，∠DFC=∠DCF，∠DAC=∠DCA，∠BAC=∠BCA=30°，
∵BH⊥AC，
∴∠ABH=∠CBH=60°，
∴∠DAF=

1

2

∠ABH=30°，
∴∠DFA=30°，
∵四边形ABCF的内角和为360°，∠DFA+∠DAF+∠BAC+∠BCA+∠ABC=240°，
∴2（∠DCF+∠DCA）=120°，
∴∠DCF+∠DCA=60°，
∴∠BCF=∠BCA+∠ACF=90°；
（2）BH+DG=

3

6

CF；如图，延长CF、BF交于点L，过G作GJ∥FC交于J，连接GC；
由（1）得：AD=FD=DC，∠BCF=90°，
∴FG=BG=GC，
∴DG垂直平分CF，
∴∠DLF=∠BCF=90°，
∴DG∥BC，
∴∠JDG=∠FBC=60°，
∵∠I=∠GJD=30°，
∴∠JGD=90°，IC=2HC，
∴JG=

3

DG，
∵JG∥IF，
∴△BGJ∽△BFI，

JG

IF

=

BG

BF

=

1

2

，
∴IF=2JG=2

3

DG，
∵HC=

3

BH，
∴IC=2

3

BH，
∵IC=IF+CF，
∴2

3

DG+CF=2

3

BH，
∴BH+DG=

3

6

CF，

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质以及平行线的判定；相似三角形的判定与性质是中考热点，培养学生综合运用定理进行推理论证和计算的能力是关键．