Question

19．已知函数y=x²+（2m+1）x+m²-1．
（1）m为何值时，y有最小值0；
（2）求证：不论m取何值，函数图象的顶点都在同一直线上．

Answer 1

分析 （1）直接将y=0代入$\frac{4ac-b2}{4a}$=0求出即可；
（2）首先求出函数顶点坐标，设顶点在直线y₁=kx+b上，代入函数解析式求出k，b的值即可．

解答 （1）解：当y=0时，
$\frac{4ac-b2}{4a}$=$\frac{4（m2-1）-（2m+1）2}{4}$=$\frac{-4m-5}{4}$=0，
解得：m=-$\frac{5}{4}$；

（2）证明：函数y=x²+（2m+1）x+m²-1的顶点坐标为：（-$\frac{2m+1}{2}$，$\frac{-4m-5}{4}$）
设顶点在直线y₁=kx+b上，则-$\frac{2m+1}{2}$k+b=$\frac{-4m-5}{4}$，
故-mk=-m，解得：k=1，b=-$\frac{3}{4}$，
不论m取何值，该函数图象的顶点都在直线y₁=x-$\frac{3}{4}$上．

点评 此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值求法，得出k的值是解题关键．