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设a,b,c为互不相等的实数,且满足关系式:b2+c2=2a2+16a+14①bc=a2-4a-5②.求a的取值范围.
分析:先通过代数式变形得(b+c)2=2a2+16a+14+2(a2-4a-5)=4a2+8a+4=4(a+1)2,即有b+c=±2(a+1).有了b+c与bc,就可以把b,c可作为一元二次方程x2±2(a+1)x+a2-4a-5=0③的两个不相等实数根,由△=4(a+1)2-4(a2-4a-5)=24a+24>0,得到a>-1.再排除a=b和a=c时的a的值.先设a=b和a=c,分别代入方程③,求得a的值,则题目要求的a的取值范围应该是在a>-1的前提下排除求得的a值.
解答:解:∵b2+c2=2a2+16a+14,bc=a2-4a-5,
∴(b+c)2=2a2+16a+14+2(a2-4a-5)=4a2+8a+4=4(a+1)2
即有b+c=±2(a+1).
又bc=a2-4a-5,
所以b,c可作为一元二次方程x2±2(a+1)x+a2-4a-5=0③的两个不相等实数根,
故△=4(a+1)2-4(a2-4a-5)=24a+24>0,
解得a>-1.
若当a=b时,那么a也是方程③的解,
∴a2±2(a+1)a+a2-4a-5=0,
即4a2-2a-5=0或-6a-5=0,
解得,a=
21
4
a=-
5
6

当a=c时,同理可得a=-
5
6
a=
21
4

所以a的取值范围为a>-1且a≠-
5
6
a≠
21
4
点评:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的求根公式:x=
-b±
b 2-4ac
2a
(b2-4ac≥0).同时考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式b2-4ac和根与系数的关系.
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1
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1
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