Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90^o，∠C＝60°，AD＝3cm，BC＝9cm．⊙O的圆心O₁从点A开始沿折线A—D—C以1cm/s的速度向点C运动，⊙O₂的圆心O₂从点B开始沿BA边以cm/s的速度向点A运动，⊙O₁半径为2cm，⊙O₂的半径为4cm，若O₁、O₂分别从点A、点B同时出发，运动的时间为ts.
（1）请求出⊙O₂与腰CD相切时t的值；
（2）在0s＜t≤3s范围内，当t为何值时，⊙O₁与⊙O₂外切？

Answer 1

（1）秒；（2）3秒

解析试题分析：（1）先设⊙O₂运动到E与CD相切，且切点是F；连接EF，并过E作EG∥BC，交CD于G，再过G作GH⊥BC于H，即可得到直角三角形EFG和矩形GEBH．由∠C=60°可得∠CGH=30°，即可得到∠FGE=60°．在Rt△EFG中，根据勾股定理可得EG的值，那么CH=BC-BH=BC-EG．在Rt△CGH中，利用60°的角的正切值可求出GH的值，即可求得结果；
（2）因为0s＜t≤3s，所以O₁一定在AD上，连接O₁O₂．利用勾股定理可得到关于t的一元二次方程，解出即可．
（1）如图所示，设点O₂运动到点E处时，⊙O₂与腰CD相切．过点E作EF⊥DC，垂足为F，则EF=4cm．作EG∥BC，交DC于G，作GH⊥BC，垂足为H．

由直角三角形GEF中，∠EGF+∠GEF=90°，
又∠EGF+∠CGH=90°，
∴∠GEF=∠CGH=30°，
设FG=xcm，则EG=2xcm，又EF=4cm，
根据勾股定理得：，解得，
则，
又在直角三角形CHG中，∠C=60°，
∴
则EB=GH=CHtan60°=
∴秒；
（2）由于0s＜t≤3s，所以，点O₁在边AD上．如图连接O₁O₂，则O₁O₂=6cm．

由勾股定理得，
解得，（不合题意，舍去）．
答：经过3秒，⊙O₁与⊙O₂外切．
考点：本题考查的是切线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质
点评：解答本题的关键是注意用含t的代数式来表示线段的长；同时熟记两圆外切时圆心距等于两圆半径的和.