Question

如图，已知，在△ABC中，∠ABC=90°，BC为⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）如果CF=1，CP=2，sinA=，求⊙O的直径BC．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OD，证OD⊥DE即可．
易证∠ADB=90°，又点E为AB的中点，得DE=EB．根据等腰三角形性质可证∠ODE=∠OBE=90°，得证；
（2）可证∠A=∠DBC，所以要求BC需先求DC．结合已知条件，证明△PDC与△FPC相似可求CD，得解．
解答：（1）证明：连接OD．                                 （1分）
∵BC为直径，∴△BDC为直角三角形．
在Rt△ADB中，
E为AB中点，∴BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB．                                   （2分）
又∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，
∵∠OBD+∠ABD=90°，∴∠ODB+∠EDB=90°．
∴ED是⊙O的切线．                                  （5分）

（2）解：∵PF⊥BC，
∴∠FPC=90°-∠BCP（直角三角形的两个锐角互余）．
∵∠PDC=90°-∠PDB（直径所对的圆周角是直角），∠PDB=∠BCP（同弧所对的圆周角相等），
∴∠FPC=∠PDC（等量代换）．
又∵∠PCF是公共角，
∴△PCF∽△DCP．                                   （7分）
∴PC²=CF•CD（相似三角形的对应边成比例）．
∵CF=1，CP=2，
∴CD=4．                                           （8分）
可知sin∠DBC=sinA=，
∴=，即=，
∴直径BC=5．                                      （10分）
点评：此题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识点，综合性较强，难度偏上．