Question

如图，等边⊿ABC，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F，

（1）试说明⊿ABD≌⊿BCE；
（2）⊿AEF与⊿ABE相似吗?说说你的理由；
（3）BD²=AD·DF吗?请说明理由．

Answer 1

（1）见解析；（2）相似；（3）BD²=AD·DF

试题分析：（1）根据等边三角形的性质，可得AB=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，即可证明△ABD≌△BEC，即可以求得∠AFE=∠1+∠3=60°；
（2）根据∠AEF=∠AEB，∠AFE=∠BAE=60°，即可证明△AEF∽△ABE；
（3）易证△ABD∽△BFD，即可根据对应边成比例证得结论。
（1）∵⊿ABC为等边⊿                                                        
∴AB=BC，∠ABC=∠BCE  
∵BD=CE
∴⊿ABD≌⊿BCE                       
(2) ∵ ⊿ABD≌⊿BCE
∴∠BAD=∠EBC
∵∠BAC=∠ABC
∴∠ABE=∠EAF 
∵∠AEF=∠BEA  
∴⊿AEF与⊿ABE相似                   
(3) ∵⊿ABD≌⊿BCE
∴∠BAD=∠EBC
∵∠BDF=∠ADB
∴⊿BDF∽⊿ADB
∴=
∴BD²=AD·DF
点评：解答本题的关键是得到△ABD∽△BFD。