Question

25、如图，AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为劣弧AC上一点，DE⊥AB于H交⊙O于E，交AC于点F，P为ED延长线上的一点．
（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切并说明理由；
（2）当D点在劣弦AC的什么位置时，使AD²=DE•DF，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）当PC与圆O相切时，OC⊥PC，∠PCF+∠OCA=90°，根据等边对等角，可得出∠OCA=∠OAC，又有∠A+∠AFH=90°，将相等的角进行置换后不难得出∠PFC=∠PCF，因此三角形PCF需要满足的条件是三角形PCF是个等腰三角形．
（2）根据AD²=DE•DF，那么三角形ADF和AEF相似，且∠DAF和DEA对应相等．那么弧AD=弧CD，即D在劣弧AC的中点．

解答：解：（1）当三角形PCF是个等腰三角形（∠PCF=∠PFC）时，PC与圆O相切．
证明：连接OC，则OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵∠AFH+∠CAO=90°，
∴∠OCA+∠AFH=90°．
∵∠PCF=∠PFC，∠AFH=∠PFC，
∴∠OCA+∠PCF=90°．
即OC⊥PC．
由于C是圆上点，因此PC是圆O的切线．

（2）D在劣弧AC的中点．
证明：连接AD，AE，
∵D是弧AC的中点，
∴弧AD=弧DC．
∴∠DAC=∠DEA．
∵∠ADF=∠EDA，
∴△ADF∽△EDA．
∴AD：DF=DE：AD．
即AD²=DE•DF．

点评：本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定，圆周角定理等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．