Question

【题目】在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4，0)，点B(0，3)，△ABO绕点B顺时针旋转，得△A′BO′，点A、O旋转后的对应点为A′、O′，记旋转角为α．

(1)如图1，若α=90°，求AA′的长；

(2)在(1)的条件下，边OA上的一点M旋转后的对应点为N，当O′M+BN取得最小值时，在图中画出求点M的位置，并求出点N的坐标。

(3)如图2，在△ABO绕点B顺时针旋转过程中，以AB、A′B为邻边画菱形AB A′E，F是AB的中点，连A′F交BE于P，BP的垂直平分线交AB于K，当α从60°到90°的变化过程中，点K的位置是否变化？若不变，求BK的长并直接写出此变化过程中点P的运动路径长．

Answer 1

【答案】（1）AA'＝；（2）作图见解析，N(﹣3， )；（3）不发生变化，

【解析】

（1）先求出AB的长度，然后利用旋转的性质得到，然后得到的长度；

（2）根据题意，利用轴对称的性质，先确定出点M的位置，然后求出点M的坐标，利用旋转的性质，即可得到点N的坐标；

（3）根据菱形的性质，得到△FBP∽△A′EP，然后结合相似三角形的性质和平行线分线段成比例，求出BK的长度；根据弧长公式，即可求出点P的运动路径长.

解：（1）∵A(﹣4，0)，点B(0，3)，

∴OA＝4，OB＝3

由勾股定理得：AB＝，

∵旋转角＝90°，

由旋转知A'B＝AB＝5，

∴△A'BA是等腰直角三角形，

∴AA'＝；

（2）由旋转知BN＝BM，

∴O′M+BN的最小值＝O′M+BM的最小值，

∴作出点B(0，3)关于x轴的对称点B'(0，﹣3)，连接O'B'交OA于点M，点M即为所求；

设O′B'：y＝kx+b把O′(﹣3，3)B'(0，﹣3)代入得

，

解得：k＝﹣2，b＝﹣3，

∴O′B'为y＝﹣2x﹣3；

令'y＝0得：x＝﹣，

∴M(﹣，0)，MO ＝，

∵由旋转的性质得△BOM≌△BO′N，

∴OM ＝O′N＝，

∴N的纵坐标为：3+＝，

∴N(﹣3， )；

（3）不发生变化；理由如下：

∵F是BC的中点，

∴BF＝AF＝AB，

∵四边形AB A′E是菱形，

∴AB＝A′E，AB∥A′E，

∴△FBP∽△A′EP，

∴，

∵四边形AB A′E是菱形，

∴∠ABE＝∠A′ BE，

又∵BP的中垂线与边AB交于点K，

∴KP＝KB，

∴∠ABE＝∠KPB，

∴∠KPB＝∠A′ BE，

∴PK∥AE∥A′ B，

∴，

∴BK＝AB＝，

即点K的位置不发生改变；

∴P点经过路线是以K为圆心，BK为半径的圆弧，

长度为：．