精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】如图,已知以E30)为圆心,以5为半径的⊙Ex轴交于AB两点,与y轴交于C点,抛物线经过ABC三点,顶点为F

1)求ABC三点的坐标;

2)求抛物线的解析式及顶点F的坐标;

3)已知M为抛物线上一动点(不与C点重合),试探究:

使得以ABM为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等,求所有符合条件的点M的坐标;

若探究中的M点位于第四象限,连接M点与抛物线顶点F,试判断直线MF⊙E的位置关系,并说明理由.

【答案】1A(-2,0),B(8,0)C(0,-4);(2.F3,;(3M的坐标为(,4)或(,4)直线MF⊙E相切.理由见解析.

【解析】

(1)由题意可直接得到点A、B的坐标,连接CE,在Rt△OCE中,利用勾股定理求出OC的长,则得到点C的坐标.

(2)已知点A、B、C的坐标,利用交点式与待定系数法求出抛物线的解析式,由解析式得到顶点F的坐标.

(3)①△ABC中,底边AB上的高OC=4,若△ABC△ABM面积相等,则抛物线上的点M须满足条件:|yM|=4.因此解方程yM=4yM=-4,可求得点M的坐标.

如解答图,作辅助线,可求得EM=5,因此点M⊙E上;再利用勾股定理求出MF的长度,则利用勾股定理的逆定理可判定△EMF为直角三角形,∠EMF=90°,所以直线MF⊙E相切.

解:(1)∵E(3,0)为圆心,以5为半径的⊙Ex轴交于A,B两点,

∴A(-2,0),B(8,0).

如图所,连接CE,

Rt△OCE中,,CE=5,

由勾股定理得:

∴C(0,-4).

(2)∵A(-2,0),B(8,0)在抛物线上,

设抛物线的解析式为

C(0,-4)在抛物线上,

,解得

抛物线的解析式为:,即

顶点F的坐标为(3,).

(3)①∵△ABC中,底边AB上的高OC=4,

△ABC△ABM面积相等,则抛物线上的点M须满足条件:|yM|=4.

(I)若yM=4,则

整理得:,解得

M的坐标为(,4)或(,4).

(II)若yM=-4,则

整理得:,解得x=6x=0(与点C重合,故舍去).

M的坐标为(6,-4).

综上所述,满足条件的点M的坐标为:(,4)或(,4)或(6,-4).

直线MF⊙E相切.理由如下:

由题意可知,M(6,-4).

如图,连接EM,MF,过点MMG⊥对称轴EF于点G,则MG=3,EG=4.

Rt△MEG中,由勾股定理得:

M⊙E上.

由(2)知,F(3,),∴EF=

Rt△MGF中,由勾股定理得:

△EFM中,

∴△EFM为直角三角形,∠EMF=90°.

M⊙E上,且∠EMF=90°,

直线MF⊙E相切.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】某种工业原料,甲仓库有12吨,乙仓库有6吨,现需从甲、乙两仓库将这种工业原料分别调往A工厂10吨,B工厂8吨,已知从甲仓库调运1吨原料到AB两工厂的运费分别是40元和80元,从乙仓库调运1吨原料到AB两工厂的运费分别是30元和50元.

1)若总运费为900元,则从甲仓库调运到A工厂的原料为多少吨?

2)要使总运费最低,应如何安排调运方案?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】若矩形的一个短边与长边的比值为,(黄金分割数),我们把这样的矩形叫做黄金矩形

(1)操作:请你在如图所示的黄金矩形ABCD(AB>AD)中,以短边AD为一边作正方形AEFD.

(2)探究:在(1)中的四边形EBCF是不是黄金矩形?若是,请予以证明;若不是,请说明理由.

(3)归纳:通过上述操作及探究,请概括出具体有一般性的结论(不需证明)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】二次函数 yax2+bx+ca≠0)的图象如图所示,对称轴是直线 x=1,下列结论:ab<0;②b2>4ac;③a+b+2c<0;④3a+c<0. 其中正确的是(

A.①④B.②④C.①②③D.①②③④

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB切小圆于点P.

(1)PAPB相等吗?请说明理由;

(2)若,求圆环的面积.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度.小正方形的顶点称为格点的三个顶点.

1)将以点为旋转中心旋转,得到,请画出的图形

2)平移,使点的对应点坐标为,请画出平移后对应的

3)若将绕某一点旋转可得到,请直接写出旋转中心的坐标;

4)请画出一个以为对角线,面积是20的菱形(要求是格点).

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】下列说法正确的是(  )

A. 一个游戏的中奖概率是,则做10次这样的游戏一定会中奖

B. 为了解全国中学生的心理健康情况,应该采用普查的方式

C. 一组数据68788910的众数和中位数都是8

D. 若甲组数据的方差,乙组数据的方差,则乙组数据比甲组数据稳定

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点

1)求抛物线的解析式;

2)若与抛物线的对称轴交于点,以为圆心,长为半径作圆,轴的位置关系如何?请说明理由.

3)过点的切线,交轴于点,请求出直线的解析式及点坐标.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】从﹣2,﹣04中任取一个数记为m,再从余下的三个数中,任取一个数记为n,若kmn

1)请用列表或画树状图的方法表示取出数字的所有结果;

2)求正比例函数ykx的图象经过第一、三象限的概率.

查看答案和解析>>

同步练习册答案