【题目】如图,已知以E(3,0)为圆心,以5为半径的⊙E与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,抛物线经过A,B,C三点,顶点为F.
(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)求抛物线的解析式及顶点F的坐标;
(3)已知M为抛物线上一动点(不与C点重合),试探究:
①使得以A,B,M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等,求所有符合条件的点M的坐标;
②若探究①中的M点位于第四象限,连接M点与抛物线顶点F,试判断直线MF与⊙E的位置关系,并说明理由.
【答案】(1)A(-2,0),B(8,0),C(0,-4);(2).F(3,);(3)①点M的坐标为(,4)或(,4);②直线MF与⊙E相切.理由见解析.
【解析】
(1)由题意可直接得到点A、B的坐标,连接CE,在Rt△OCE中,利用勾股定理求出OC的长,则得到点C的坐标.
(2)已知点A、B、C的坐标,利用交点式与待定系数法求出抛物线的解析式,由解析式得到顶点F的坐标.
(3)①△ABC中,底边AB上的高OC=4,若△ABC与△ABM面积相等,则抛物线上的点M须满足条件:|yM|=4.因此解方程yM=4和yM=-4,可求得点M的坐标.
②如解答图,作辅助线,可求得EM=5,因此点M在⊙E上;再利用勾股定理求出MF的长度,则利用勾股定理的逆定理可判定△EMF为直角三角形,∠EMF=90°,所以直线MF与⊙E相切.
解:(1)∵以E(3,0)为圆心,以5为半径的⊙E与x轴交于A,B两点,
∴A(-2,0),B(8,0).
如图所,连接CE,
在Rt△OCE中,,CE=5,
由勾股定理得:,
∴C(0,-4).
(2)∵点A(-2,0),B(8,0)在抛物线上,
∴设抛物线的解析式为.
∵点C(0,-4)在抛物线上,
∴,解得.
∴抛物线的解析式为:,即.
∵.
∴顶点F的坐标为(3,).
(3)①∵△ABC中,底边AB上的高OC=4,
∴若△ABC与△ABM面积相等,则抛物线上的点M须满足条件:|yM|=4.
(I)若yM=4,则,
整理得:,解得或.
∴点M的坐标为(,4)或(,4).
(II)若yM=-4,则,
整理得:,解得x=6或x=0(与点C重合,故舍去).
∴点M的坐标为(6,-4).
综上所述,满足条件的点M的坐标为:(,4)或(,4)或(6,-4).
②直线MF与⊙E相切.理由如下:
由题意可知,M(6,-4).
如图,连接EM,MF,过点M作MG⊥对称轴EF于点G,则MG=3,EG=4.
在Rt△MEG中,由勾股定理得:,
∴点M在⊙E上.
由(2)知,F(3,),∴EF=.
∴.
在Rt△MGF中,由勾股定理得:,
在△EFM中,∵,
∴△EFM为直角三角形,∠EMF=90°.
∵点M在⊙E上,且∠EMF=90°,
∴直线MF与⊙E相切.
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(2)要使总运费最低,应如何安排调运方案?
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【题目】若矩形的一个短边与长边的比值为,(黄金分割数),我们把这样的矩形叫做黄金矩形
(1)操作:请你在如图所示的黄金矩形ABCD(AB>AD)中,以短边AD为一边作正方形AEFD.
(2)探究:在(1)中的四边形EBCF是不是黄金矩形?若是,请予以证明;若不是,请说明理由.
(3)归纳:通过上述操作及探究,请概括出具体有一般性的结论(不需证明)
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A.①④B.②④C.①②③D.①②③④
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(1)将以点为旋转中心旋转,得到,请画出的图形;
(2)平移,使点的对应点坐标为,请画出平移后对应的;
(3)若将绕某一点旋转可得到,请直接写出旋转中心的坐标;
(4)请画出一个以为对角线,面积是20的菱形(要求,是格点).
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【题目】下列说法正确的是( )
A. 一个游戏的中奖概率是,则做10次这样的游戏一定会中奖
B. 为了解全国中学生的心理健康情况,应该采用普查的方式
C. 一组数据6,8,7,8,8,9,10的众数和中位数都是8
D. 若甲组数据的方差,乙组数据的方差,则乙组数据比甲组数据稳定
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点、、.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若与抛物线的对称轴交于点,以为圆心,长为半径作圆,与轴的位置关系如何?请说明理由.
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