Question

13．已知二次函数y=-x²-2x+3的图象和x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线AC上方的抛物线上一动点P，抛物线的顶点是点D．

（1）求直线AC的解析式；
（2）求△APC面积的最大值；
（3）当△APC的面积最大时，在直线AC上有一动点M，使得△PMD的周长最小，求△PMD周长最小时点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）分别将x=0、y=0代入二次函数解析式中求出点C、A的坐标，再根据点A、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AC的解析式；
（2）过点P作E∥y轴交AC于点E，设点P的坐标为（m，-m²-2m+3）（-3＜m＜0），则点E的坐标为（m，m+3），进而可得出PE的长度，利用二次函数的性质可求出PE的最大值，再结合三角形的面积公式即可得出△APC面积的最大值；
（3）作点P关于直线AC的对称点P′，连接P′D交直线AC于点M，连接PM、DM、EP′，此时△PMD周长最小，由直线AC的解析式结合点P、P′关于直线AB对称即可得出点E、P′的坐标，由点D为抛物线的顶点可得出点D的坐标，根据点D、P′的坐标利用待定系数法即可求出直线DP′的解析式，再联立直线AC、DP′的解析式成方程组，通过解方程组求出点M的坐标．

解答 解：（1）当x=0时，y=-x²-2x+3=3，
∴C（0，3）；
当y=-x²-2x+3=0时，x₁=-3，x₂=1，
∴A（-3，0）．
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（-3，0）、C（0，3）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=x+3．

（2）过点P作E∥y轴交AC于点E，如图3所示．
设点P的坐标为（m，-m²-2m+3）（-3＜m＜0），则点E的坐标为（m，m+3），
∴PE=-m²-2m+3-（m+3）=-m²-3m=-$（m+\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{9}{4}$，
∴当m=-$\frac{3}{2}$时，PE取最大值，最大值为$\frac{9}{4}$．
∵S_△APC=$\frac{1}{2}$PE•（x_C-x_A）=$\frac{3}{2}$PE，
∴△APC面积的最大值为$\frac{27}{8}$．

（3）作点P关于直线AC的对称点P′，连接P′D交直线AC于点M，连接PM、DM、EP′，此时△PMD周长最小，如图4所示．
∵直线AC的解析式为y=x+3，P、P′关于直线AB对称，
∴PE=P′E，PE⊥P′E，
∴P′E=PE=$\frac{9}{4}$．
∵点E在直线y=x+3上，
∴点E（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴点P′（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$）．
∵抛物线y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4的顶点为D，
∴D（-1，4）．
设直线DP′的解析式为y=ax+c（a≠0），
将D（-1，4）、P′（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$）代入y=ax+c，
$\left\{\begin{array}{l}{-a+c=4}\\{\frac{3}{4}a+c=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{10}{7}}\\{b=\frac{18}{7}}\end{array}\right.$，
∴直线DP′的解析式为y=-$\frac{10}{7}$x+$\frac{18}{7}$．
联立直线AC、DP′的解析式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=-\frac{10}{7}x+\frac{18}{7}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{17}}\\{y=\frac{48}{17}}\end{array}\right.$，
∴△PMD周长最小时点M的坐标为（-$\frac{3}{17}$，$\frac{48}{17}$）．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、二次函数的性质以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）根据点A、C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质找出PE的最大值；（3）找出点M的位置．