Question

（1）观察与发现：将矩形纸片AOCB折叠，使点C与点A重合，点B落在点B′处（如图），折痕为EF、小明发现△AEF为等腰三角形，你同意吗？请说明理由．

（2）实践与应用：以点O为坐标原点，分别以矩形的边OC、OA为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，若顶点B的坐标为（9，3），请求出折痕EF的长及EF所在直线的函数关系式．

Answer 1

解：（1）同意．
理由：∵AB∥x轴，∴∠AEF=∠EFC．
根据折叠性质，有∠AFE=∠EFC．
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF．
∴△AEF为等腰三角形．

（2）过点E作EG⊥OC于点G．
设OF=x，则CF=9-x；
由折叠可知：AF=9-x．
在Rt△AOF中，AF²=AO²+OF²
∴3²+x²=（9-x）²，∴x=4，9-x=5．
∴AE=AF=5，
∴FG=OG-OF=5-4=1．
在Rt△EFG中，
EF²=EG²+FG²=10，
∴．
设直线EF的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵点E（5，3）和点F（4，0）在直线EF上，
∴3=5k+b，0=4k+b，
解得k=3，b=-12．
∴y=3x-12．
分析：（1）同意．根据∠AEF=∠EFC=∠EFA得AE=AF．
（2）作EG⊥OC于点G．则EG=3，求FG的长即可得EF的长．FG=OG-OF=AE-OF=AF-OF，设OF=x，则AF=FC=9-x．在△AOF中根据勾股定理求OF、AF，从而可求FG求解；根据E、F的坐标可求直线EF的解析式．
点评：此题通过图形的折叠变换考查解直角三角形和一次函数等知识点，综合性较强．