Question

如图在直角坐标系中，二次函数y=x²-4x+k的顶点是C，与x轴相交于A，B两点（A在B的左边）．
（1）若点B的横坐标x_B满足5＜x_B＜6，求k的取值范围；
（2）若tan∠ACB=，求k的值；
（3）当k=0时，点D，E同时从点B出发，分别向左、向右在抛物线上移动，点D，E在x轴上的正投影分别为M，N，设BM=m（m＜OB），BN=n，当m，n满足怎样的等量关系时，△ODE的内心在x轴上？

Answer 1

解：（1）令y=0，则x²-4x+k=0，
解得x==2±，
∵A在B的左边，
∴点B的横坐标x_B为2+，
∵5＜x_B＜6，
∴，
解不等式①得，k＜-5，
解不等式②得，k＞-12，
所以，k的取值范围是-12＜k＜-5；

（2）如图，过点A作AG⊥BC于G，作CH⊥AB于H，
∵tan∠ACB=，
∴设AG=4a，CG=3a，
根据勾股定理，AC===5a，
∵C为二次函数的顶点，
∴BC=AC=5a，
∴BG=BC-CG=5a-3a=2a，
在Rt△ABG中，AB===2a，
∵C为二次函数的顶点，
∴BH=AB=×2a=a，
在Rt△BCH中，CH===2a，
∴AB=CH，
∵AB=（2+）-（2-）=2，
CH==k-4，
∴2=k-4，
两边平方得，16-4k=k²-8k+16，
整理得，k²-4k=0，
解得k₁=0，k₂=4；

（3）k=0时，y=x²-4x，
令y=0，则x²-4x=0，
解得x₁=0，x₂=4，
∵A在B的左边，
∴点B的坐标为（4，0），
∴OM=4-m，ON=4+n，
∵点D、E都在二次函数y=x²-4x的图象上，
∴DM=（4-m）²-4（4-m），
EN=（4+n）²-4（4+n），
∵△ODE的内心在x轴上，
∴∠DOM=∠EON，
又∵∠DMO=∠ENO=90°，
∴△DOM∽△EON，
∴=，
即=，
整理得，4-m-4=4+n-4，
所以，m+n=0．
分析：（1）令y=0，把k看作常数，解关于x的一元二次方程，得到点B的横坐标，再列出不等式组，然后求解即可；
（2）过点A作AG⊥BC于G，作CH⊥AB于H，根据∠ACB的正切值设AG=4a，CG=3a，利用勾股定理列式求出AC=5a，根据二次函数的对称性可得BC=AC=5a，求出BG=2a，再利用勾股定理列式表示出AB=2a，然后表示出BH=a，再利用勾股定理列式表示出CH=2a，然后根据二次函数的性质表示出AB、CH并列出方程求解即可得到k的值；
（3）先求出点B的坐标，再表示出OM、ON，并根据二次函数解析式表示出DM、EN，根据△ODE的内心在x轴上可知∠DOM=∠EON，然后求出△DOM和△EON相似，根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与x轴的交点问题，解一元一次不等式组，二次函数的对称性，锐角三角函数的正切值，勾股定理的应用，三角形的内心是角平分线的交点，相似三角形的判定与性质，综合性较强，（2）列出根据顶点C的纵坐标和AB的长度列出方程是解题的关键，（3）根据△ODE的内心在x轴上得到∠DOM=∠EON是解题的关键．