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    （2013•舟山）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=
    1
    4
    （x-m）2-
    1
    4
    m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．
    （1）当m=2时，求点B的坐标；
    （2）求DE的长？
    （3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？
    分析：（1）将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B点的坐标；
    （2）延长EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，进而证出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4；
    （3）①根据点A和点B的坐标，得到x=2m，y=-
    1
    4
    m2+m+4，将m=
    x
    2
    代入y=-
    1
    4
    m2+m+4，即可求出二次函数的表达式；
    ②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答．
    解答：解：（1）当m=2时，y=
    1
    4
    （x-2）2+1，
    把x=0代入y=
    1
    4
    （x-2）2+1，得：y=2，
    ∴点B的坐标为（0，2）．

    （2）延长EA，交y轴于点F，
    ∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，
    ∴△AFC≌△AED，
    ∴AF=AE，
    ∵点A（m，-
    1
    4
    m2+m），点B（0，m），
    ∴AF=AE=|m|，BF=m-（-
    1
    4
    m2+m）=
    1
    4
    m2，
    ∵∠ABF=90°-∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，
    ∴△ABF∽△DAE，
    ∴
    BF
    AF
    =
    AE
    DE
    ，即：
    1
    4
    m2
    |m|
    =
    |m|
    DE
    ，
    ∴DE=4．

    （3）①∵点A的坐标为（m，-
    1
    4
    m2+m），
    ∴点D的坐标为（2m，-
    1
    4
    m2+m+4），
    ∴x=2m，y=-
    1
    4
    m2+m+4，
    ∴y=-
    1
    4
    •(
    x
    2
    )2    +
    x
    2
    +4，
    ∴所求函数的解析式为：y=-
    1
    16
    x2+
    1
    2
    x+4，
    ②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，

    （Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），
    点P的横坐标为3m，
    点P的纵坐标为：（-
    1
    4
    m2+m+4）-（
    1
    4
    m2）=-
    1
    2
    m2+m+4，
    把P（3m，-
    1
    2
    m2+m+4）的坐标代入y=-
    1
    16
    x2+
    1
    2
    x+4得：
    -
    1
    2
    m2+m+4=-
    1
    16
    ×（3m）2+
    1
    2
    ×（3m）+4，
    解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8．
    （Ⅱ）当四边形ABPD为平行四边形时（如图2），
    点P的横坐标为m，
    点P的纵坐标为：（-
    1
    4
    m2+m+4）+（
    1
    4
    m2）=m+4，
    把P（m，m+4）的坐标代入y=-
    1
    16
    x2+
    1
    2
    x+4得：
    m+4=-
    1
    16
    m2+
    1
    2
    m+4，
    解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=-8，
    综上所述：m的值为8或-8．
    点评：本题是二次函数综合题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意数形结合及分类讨论．
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    		5
    ．

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