Question

14．如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于G，BG延长交CD于点F，CG延长交BD于点H，AB于N．下列结论：①DE=CN；②∠DGF=45°；③2BN=3CF；④CH+BH=DE．其中正确的有（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①由△BNC≌△CED，即可得出DE=CN；
②如图2，作辅助线构建四边形PBQG是矩形，证明△BPN≌△BQE，得BP=BQ，则四边形PBQG是正方形，可得∠DGF=∠BGE=45°；
③如图3，作辅助线，证明△CKF∽△FRD，根据相似比为1：2可得结论；
④如图2，设PN=x，BP=2x，证明NH≠BH即可得出结论不正确．

解答 解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠BNC+∠BCN=90°，
∵CG⊥DE，
∴∠EGC=90°，
∴∠BCN+∠DEC=90°，
∴∠BNC=∠DEC，
在△BNC和△CED中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BNC=∠CED}\\{∠ABC=∠BCD}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△BNC≌△CED（AAS），
∴DE=CN；
所以①正确；
②如图2，过B作BP⊥CN于P，BQ⊥DG，交DE的延长线于E，
∴∠BPC=∠BQD=∠PGQ=90°，
∴四边形PBQG是矩形，
∴∠PBQ=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠NBP=∠QBE，
由①得：△BNC≌△CED，
∴EC=BN，
∵E是BC的中点，
∴BE=EC，
∴BE=BN，
∵∠BPN=∠BQE=90°，
∴△BPN≌△BQE，
∴BP=BQ，
∴四边形PBQG是正方形，
∴∠BGE=45°，
∴∠DGF=∠BGE=45°，
所以②正确；
③如图3，过F作FR⊥DE于R，FK⊥CN于K，
同理得：四边形RGKF是正方形，
∴FR=FK，
∵∠BCN=∠CFK，
∴tan∠BCN=tan∠CFK=$\frac{BN}{BC}=\frac{CK}{FK}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CK}{FR}=\frac{1}{2}$，
∵FK∥DG，
∴△CKF∽△FRD，
∴$\frac{CF}{DF}=\frac{CK}{FR}=\frac{1}{2}$，
∴DF=2CF，
∴DC=3CF，
∵AB=2BN，
∴2BN=3CF，
所以③正确；
④如图2，tan∠NBP=tan∠BCN=$\frac{NP}{BP}=\frac{1}{2}$，
设PN=x，BP=2x，则PG=BP=CG=PG=2x，DG=2CG=4x，
∵BP∥DG，
∴△BPH∽△DGH，
∴$\frac{BH}{DH}=\frac{PH}{GH}=\frac{BP}{DG}$=$\frac{2x}{4x}$=$\frac{1}{2}$，
由勾股定理得：BN=$\sqrt{5}$x，
∴BC=2$\sqrt{5}$x，
∴BD=2$\sqrt{10}$x，
∴PH=$\frac{1}{3}$•2x=$\frac{2}{3}$x，BH=$\frac{1}{3}$×$2\sqrt{10}$x=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$x，
∴NH=PN+PH=x+$\frac{2}{3}$x≠BH，
∴CH+BH≠CN，
即CH+BH≠DE，
所以④不正确；
本题正确的有：①②③；
故选A．

点评 此题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，学生需要有比较强的综合知识，本题是4个选项的判断题，其实相当于四问的证明题，比较复杂，第二个选项中的度数利用对顶角相等和正方形的对角线将角平分为45°得出结论．