Question

（2010•芜湖）芜湖国际动漫节期间，小明进行了富有创意的形象设计．如图1，他在边长为1的正方形ABCD内作等边三角形BCE，并与正方形的对角线交于F、G点，制成如图2的图标．则图标中阴影部分图形AFEGD的面积=    ．

Answer 1

【答案】分析：根据等边三角形与正方形的性质，求出∠EBO，再在直角三角形BOF中利用角的正切求出边OF，从而得知S_△BOF，S_△BAF=S_△BAO-S_△BOF；同理求得S_△CGD，所以图标中阴影部分图形AFEGD的面积就是：S_□ABCD-S_△CBE-S_△BAF-S_△CGD
解答：解：方法1：设AC与BD交于点O，
∵AC、BD是正方形的对角线，
∴AC⊥BD，OA=OB，
在△BCE中，∠EBC=60°，∠OBC=45°，
∴∠EBO=60°-45°，
∴FO=tan（60°-45°）•OB，
∴S_△BOF=OF•OB=tan（60°-45°）•OB²，
∴S_△BAF=S_△BAO-S_△BOF=-tan（60°-45°）•OB²=-tan（60°-45°）•OB²=OB²，
同理，得S_△CGD=OB²，
∵S_△CBE=sin60°=sin60°=AB²，
∴S_□ABCD-S_△CBE-S_△BAF-S_△CGD=AB²-AB²-OB²，
∵OB=BD，BD²=AB²+AD²，AB=AD=1，
∴S_□ABCD-S_△CBE-S_△BAF-S_△CGD=1--（××（1+1）=，
图标中阴影部分图形AFEGD的面积=．

方法2：过G作GH⊥CD于H，
则易得△GDH是等腰直角三角形，设DH=GH=x，
∵△BEC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∴∠ECD=90°-60°=30°，
∴CH=x，
∵CD=DH+CH=1，
即x+x=1，
x（1+）=1，
解得x===，
∴S_△CGD=×1×=
同理S_△BFA=
易得S_△BCE=
∴S_阴影=S_{正方形ABCD}-S_△BCE-S_△BAF-S_△CGD
=1---
=．
故答案为：．
点评：解答本题的难点是求直角三角形ABO中的三角形ABF的面积，在突破难点时，充分利用了等边三角形、正方形的性质以及直角三角形中的边角函数关系．