Question

如图，PA是⊙O的切线，切点为A，割线PCB交⊙O于C、B两点，半径OD⊥BC，垂足为E，AD交PB于点F．
（1）PA与PF是否相等？______（填“是”或“否”）；
（2）若F是PB的中点，CF=1.5，则切线PA的长为______．

Answer 1

【答案】分析：（1）证PA、PF是否相等，可证∠PFA和∠PAF是否相等；由于PA是⊙O的切线，可得∠OAP=90°；
易知：∠D=∠OAD；那么∠DFE和∠FAP是等角的余角，因此两角相等，可得出∠PFA=∠PAF，即PF=PA．
（2）若F是PB中点，可得出的条件是PA=PF=BF；可用PA表示出PC、PB的长，然后根据切割线定理求出PA的长．
解答：解：（1）是．
证明：∵PA是⊙O的切线，A为切点．
∴∠OAP=90°，
∴∠FAP+∠OAD=90°；
∵OD⊥BC，
∴∠DFE+∠D=90°；
又∵OA=OD，
∴∠D=∠OAD；
∴∠DFE=∠FAP=∠PFA；
∴PA=PF．

（2）∵PA是⊙O的切线，PCB是⊙O的割线，
∴PA²=PC•PB；
∵F为PB的中点，
∴PB=2PF=2PA．
∴PA²=（PA-CF）•2PA=（PA-1.5）•2PA；
∴PA²-3PA=0；
∴PA=3．
点评：此题考查了切线的性质、切割线定理及等腰三角形的性质等知识点，做题时需灵活综合运用．