Question

【题目】如图，⊙O是等边△ACD的外接圆，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，延长AD交BM于点E．

（1）求证：CD∥BM；（2）连接OE，若DE＝4，求OE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）OE＝ .

【解析】

（1）由点A、C、D为⊙O的三等分点得到AD＝DC＝AC．则△ACD为等边三角形，再利用点O为△ACD的外心得到AB⊥CD．然后根据切线的性质得BE⊥AB．所以CD∥BM；

（2）连接DB，如图，利用△ACD为等边三角形和圆周角定理得到∠ABD＝∠C＝60°，则∠DBE＝30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE＝8，DB＝4．AB＝8，则OB＝4，然后利用勾股定理计算出OE．

（1）证明：∵点A、C、D为⊙O的三等分点，

∴＝＝，

∴AD＝DC＝AC．

∴△ACD为等边三角形，

而点O为△ACD的外心，

∴AB⊥CD．

∵BM为⊙O的切线，

∴BE⊥AB．

∴CD∥BM；

（2）解：连接DB，如图，

∵△ACD为等边三角形，

∴∠C＝60°，

∴∠ABD＝∠C＝60°，

∴∠DBE＝30°，

在Rt△DBE中，BE＝2DE＝8，DB＝DE＝4．

在Rt△ADB中，AB＝2BD＝8，则OB＝4，

在Rt△OBE中，OE＝ ＝4，

故答案为：（1）见解析；（2）OE＝ .