Question

19．如图，△ABC与△ABD都是等边三角形，点E，F分别在BC，AC上，BE=CF，AE与BF交于点G．
（1）求∠AGB的度数；
（2）连接DG，求证：DG=AG+BG；
（3）若CE=2BE，BG=3，求DG长．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到AB=BC，∠ABC=∠C=60°，再根据三角形全等的判定方法可证得△ABE≌△BCF，则∠BAE=∠FBC，利用三角形外角性质得∠BGE=∠ABG+∠BAE，则∠BGE=∠ABG+∠FBC=∠ABC=60°，然后利用邻补角的定义可计算出∠AGB的度数；
（2）延长GE至点H，使GH=GB，由于∠BGE=60°，根据等边三角形的判定得到△BGH为等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到BG=BH=GH，∠GBH=60°，且AB=BD，∠ABD=60°，易得∠ABH=∠DBG，根据三角形全等的判定方法可证得△DBG≌△ABH（SAS），则DG=AH，即可得到DG=AG+BG；
（3）过F作FH∥AE，根据已知条件得到CF：AF=1：2，于是得到BE：EH=3：4，求得BG：GF=3：4，通过△CFH∽△CAE，根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{FH}=\frac{AC}{FC}=3$，$\frac{GE}{FH}=\frac{BG}{BF}=\frac{3}{7}$，于是得到AG：GE=6，即可得到结论．

解答 （1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠C}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠FBC，
∵∠BGE=∠ABG+∠BAE=∠ABG+∠FBC=∠ABC=60°，
∴∠AGB=180°-∠BGE=120°；

（2）证明：延长GE至点H，使GH=GB，如图，
∵∠BGE=60°，
∴△BGH为等边三角形，
∴BG=BH=GH，∠GBH=60°，
∵△ABD是等边三角形，
∴AB=BD，∠ABD=60°，
∵∠ABH=∠GBH+∠ABG，∠DBG=∠ABD+∠ABG，
∴∠ABH=∠DBG，
在△DBG和△ABH中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=AB}\\{∠DBG=∠ABH}\\{BG=BH}\end{array}\right.$，
∴△DBG≌△ABH（SAS），
∴DG=AH，
而AH=AG+GH，
∴DG=AG+BG；

（3）过F作FH∥AE，
∵CF=BE，AC=BC，
∵CE=2BE，
∴CF：AF=1：2，
∵FH∥AE，
∴CH：CE=CF：AC=1：3，
∴BE：EH=3：4，
∴BG：GF=3：4，
∵FH∥AE，
∴△CFH∽△CAE，
∴$\frac{AE}{FH}=\frac{AC}{FC}=3$，
∵△BGE∽△BFH，
∴$\frac{GE}{FH}=\frac{BG}{BF}=\frac{3}{7}$，
∴AG：GE=6，
∵BG=3，
∴BF=AE=7，
∴AG=6，
∴DG=BG+AG=9．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．