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如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，∠B和∠C都为锐角，M为AB一动点（点M与点A、B不重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，在△AMN中，设MN的长为x，MN上的高为h．
（1）请你用含x的代数式表示h；
（2）将△AMN沿MN折叠，使△AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为A₁，△A₁MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少．

【答案】分析：（1）由于MN∥BC，故△AMN∽△ABC，由相似关系求解．
（2）由于翻折后点A可能在△ABC的内部，也可能在BC边上，也可能在△ABC的外部，故需分类讨论．由于A′是动点，故重合的面积随A′位置的变化而变化．
解答：

解：（1）∵MN∥BC
∴△AMN∽△ABC
∴

∴

．

（2）∵△AMN≌△A₁MN
∴△A₁MN的边MN上的高为h
①当点A₁落在四边形BCNM内或BC边上时
y=S_△A1MN=

MN•h=

x•

x²（0＜x≤4）
②当A₁落在四边形BCNM外时，如图（4＜x＜8）
设△A₁EF的边EF上的高为h₁
则h₁=2h-6=

x-6
∵EF∥MN
∴△A₁EF∽△A₁MN
∵△A₁MN∽△ABC
∴△A₁EF∽△ABC
∴

∵S_△ABC=

×6×8=24
∴S_△A1EF=（

）²×24=

x²-12x+24
∵y=S_△A1MN-S_△A1EF=

x²-（

x²-12x+24）=-

x²+12x-24
所以y=-

x²+12x-24（4＜x＜8）
综上所述
当0＜x≤4时，y=

x²，取x=4，y_max=6
当4＜x＜8时，y=-

x²+12x-24，取x=

，y_max=8
∴当x=

时，y值最大y_max=8．
点评：本题着重考查了二次函数的综合应用、图形翻折变换、三角形相似等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．

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