【题目】截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．
（1）如图1,△ABC是等边三角形,点D是边BC下方一点,∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．
解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE=AD, CE=BD，∠ABD=∠ACE,∠DAE=60°,根据∠BAC+∠BDC=180°,可知∠ABD+∠ACD=180°,则 ∠ACE+∠ACD=180°,易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．
根据上述解题思路,三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是___________；
（2）如图2,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC．点D是边BC下方一点,∠BDC=90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）DA=DB+DC；（2）
DA=DB+DC，证明见解析；
【解析】
（1）结论：DA=DB+DC．理由：由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB．
（2）结论：DA=DB+DC．理由：延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，先证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，据此可得∠DAE=∠BAC=90°，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，继而可得2DA2=（DB+DC）2；
（1）结论DA=DB+DC．理由如下：
如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠BDC=120°，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
又∵∠ACE+∠ACD=180°，
∴∠ABD=∠ACE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，
∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB；
（2）结论: DA=DB+DC．理由如下：
如图,将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE
∴AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE,∠DAE=90°，
∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
∵∠ABD=∠ACE，
∴∠ACE+∠ACD=180°，
∴点D、C、E在同一条直线上．
∵∠DAE=90°，DA=EA
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DA2+AE2=DE2，
∴2DA2=( DB+DC)2
∴DA=DB+DC．
字词句篇与同步作文达标系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．请解答：
（1）点A、C的坐标分别是 、 ；
（2）画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB'C'；
（3）在（2）的条件下，求点C旋转到点C'所经过的路线长(结果保留π)．
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【题目】某公司开发出一款新包装的牛奶，牛奶的成本价为6元/盒，这种新包装的牛奶在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试营销，售价为8元/盒．前几天的销量每况愈下，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的线段表示前12天日销售量y(盒)与销售时间x(天)之间的函数关系，于是从第13天起采用打折销售(不低于成本价)，时间每增加1天，日销售量就增加10盒．
（1）打折销售后，第17天的日销售量为________盒；
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）已知日销售利润不低于560元的天数共有6天，设打折销售的折扣为a折，试确定a的最小值．
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【题目】如图(1)所示，等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于点C1交AB的延长线于点B1．
(1)请你探究：
＝
，
＝
是否都成立？
(2)请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问＝一定成立吗？并证明你的判断．
(3)如图(2)所示Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝
，E为AB上一点且AE＝5，CE交其内角角平分线AD于F．试求
的值．
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【题目】如图，
中，
，
，
，动点
从点
出发，在
边上以每秒
的速度向点
匀速运动，同时动点
从点
出发，在
边上以每秒
的速度向点
匀速运动，运动时间为
秒（
），连接
。
（1）若
与
相似，求的值；
（2）连接
，
，若
，求的值
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【题目】如图，△OAB中，OA＝OB＝10cm，∠AOB＝80°，以点O为圆心，半径为6cm的优弧
分别交OA、OB于点M、N．
(1)点P在右半弧上(∠BOP是锐角)，将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′．求证：AP＝BP′；
(2)点T在左半弧上，若AT与圆弧相切，求AT的长．
(3)Q为优弧上一点，当△AOQ面积最大时，请直接写出∠BOQ的度数为 ．
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【题目】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．
（1）以原点O为对称中心作△ABC的中心对称图形，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）求出△ABC的面积．
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【题目】已知抛物线
的顶点
在第一象限，过点作
轴于点
，
是线段
上一点（不与点、重合），过点作
轴于点
，并交抛物线于点
．
（1）求抛物线顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）若直线
交
轴的正半轴于点
，且
，求
的面积
的取值范围．
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【题目】如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，AB为⊙O的直径．动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t，
求：(1)t为何值时，P、Q两点之间的距离是10cm？
(2)t为何值时，直线PQ与⊙O相切？
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